האם פתיחת כביש חדש מביאה בהכרח לירידה בעומסי התנועה? מהו פרדוקס ברס? איך הוא קשור לשאלה? במאמר מציג ד"ר שעיה הסבר מעניין על הקשר בין תורת המשחקים למכניקה הניוטונית.



אחת השאלות המעניינות בעולם הפקוק שבו אנו חיים היא האם פתיחת כביש חדש מביאה בהכרח לירידה בעומסי התנועה?

לפני זמן מה נתקלתי בפרדוקס ברס, הלקוח מתורת המשחקים. הפרדוקס מציג מצב שבו הוספת אפיק נוסף לרשת תעבורה עמוסה לא משפרת בהכרח את הזרימה ואף עלולה לפגוע בה. פרדוקס ברס אינו באמת פרדוקס, אך הוא בהחלט דוגמה טובה לתוצאה מתמטית מאוד לא אינטואיטיבית.

כשמיישמים את פרדוקס ברס לנושא עומס התנועה בכבישים, הוא מראה לכאורה שבמקום שיש בו עומסי תנועה, פתיחת כביש נוסף לא תוריד בהכרח את זמן הנסיעה, ואולי אף תאריך אותו. בהמשך אראה שלפרדוקס ברס יש השלכות נוספות שאינן באות מעולם התעבורה.


פרדוקס ברס בקצרה

פרדוקס ברס

בחלק א' של האיור המובא למעלה מתוארים שני מסלולים אפשריים להגעה מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום. הזמן הדרוש לעבור כל חלק של הדרך מסומן באות t ומספר המכוניות בדרך מסוימת מסומן באות N. בחלק מהמסלולים זמן הנסיעה תלוי בעומס, כלומר ב-N, ובחלקם הוא אינו תלוי בעומס (דוגמה מציאותית: דרך מהירה בהשוואה לדרך מרומזרת).

ההנחה בסוג כזה של בעיות היא שהנהגים יודעים כמה זמן דרוש להם כדי לעבור כל חלק ושמטרתם היא לקצר את זמן הנסיעה. היות ששתי הדרכים זהות מבחינת זמן הנסיעה הכולל בהן, חצי מהנהגים יבחרו ב-A וחצי ב-B. אם נניח לדוגמה שיש 4,000 נהגים, זמן הנסיעה בשתי הדרכים יהיה 65 דקות.

במקרה המתואר בחלק ב' של האיור נפתח כביש נוסף שמאפשר החלפה בין המסלולים באמצע הדרך. ברור כעת שכדאי לנהגים להתחיל במסלול A ולעבור באמצע למסלול B, אבל אם כל 4,000 הנהגים ינהגו כך, זמן הנסיעה של כולם יתארך ל-80 דקות. אם יחליט אחד הנהגים לחזור למסלול הישן, זמן הנסיעה שלו יהיה ארוך אף יותר ויעמוד על 85 דקות. כלומר פתיחת נתיב התחבורה החדש האריכה את זמן הנסיעה ולא קיצרה אותו.

הסיבה לכך היא שכל הנהגים המתוארים כאן יבחרו תמיד בדרך הכי מהירה, ולכן יפקקו אותה. קוראים המעוניינים בתיאור מפורט ומדויק יותר מוזמנים לקרוא פוסט בנושא בבלוג "לא מדויק".

נוח אמנם להסביר את הפרדוקס על פי דוגמה העוסקת בנהיגה, כיוון שהיא מתארת מצב המוכר לנו מחיי היומיום, אך יש לשאול אם המודל המתמטי הזה אכן מתאים לתאר מקרים מציאותיים של התנהגות נהגים בכבישים עמוסים. האם כך יתנהגו נהגים אמיתיים בסיטואציה הזאת?

האמת היא שאני לא יודע, וזה תלוי כנראה בהרבה תנאים. כך או אחרת, מתברר שקיימים מקרים אנלוגיים שבהם השאלה הזאת כלל אינה רלוונטית, מכיוון שאין בהם צורך בבני אדם. הבה נבחן אחד מהם, הלקוח ממאמר שפורסם בכתב העת המדעי Nature.


רשת הקפיצים לפני החיתוך

עולה או יורד?
האיור שלמעלה מתאר מצב שבו גוף (ראו בסגול) תלוי מהתקרה על שני קפיצים (בשחור) המחוברים זה לזה בחבל (כחול). כמו כן, קצהו העליון של הקפיץ התחתון מחובר בחבל (באדום) לתקרה וקצהו התחתון של הקפיץ העליון מחובר בחבל (באדום) לגוף. במצב המתואר באיור, החבלים האדומים רפויים והחבל הכחול מתוח.

כעת גוזרים את החבל הכחול. כתוצאה מכך החבלים האדומים נמתחים, כפי שאפשר לראות באיור למטה. האם הגוף יעלה או ירד בעקבות ניתוק החבל הכחול ומתיחת החבלים האדומים?

כיוון שכל הערכים הדרושים לחישוב מצויים באיור הראשון, אלה מכם שמכירים את חוקי המכניקה יוכלו להגיע לתשובה בקלות רבה. אך מעניין הרבה יותר לנסות לענות על השאלה בלי חישוב, על סמך האינטואיציה בלבד. את זה יכולים לעשות כולם.


רשת הקפיצים אחרי החיתוך

התשובה שתהיה אינטואיטיבית לרוב האנשים היא שהגוף יירד מפני שהחבלים האדומים יימתחו, אך למעשה אפשר להראות שהגוף דווקא יעלה. הסיבה היא שבעוד החבלים האדומים נמתחים, הקפיצים דווקא מתכווצים, ובסך הכול הגוף עולה. הסיבה לסיבה היא שחוזקם של שני קפיצים המחוברים במקביל כפול מחוזקו של קפיץ בודד. לעומת זאת, חוזקם של שני קפיצים המחוברים בטור שווה למחצית מחוזקו של קפיץ בודד.

עדיין לא מאמינים? הנה לכם קישור לסרטון יוטיוב המדגים זאת בניסוי.

שימו לב שהדוגמאות של הכבישים והקפיצים עובדות בסדר הפוך מבחינה כרונולוגית, כך שהכביש המחבר בין A ל-B שקול לחבל הכחול המחבר בין שני הקפיצים.

כיוון שקשה מאוד לקשר באופן אינטואיטיבי בין בעיית הזרימה המקורית לבעיית החבלים והקפיצים, כותבי המאמר מראים שאפשר לקבל את האפקט גם במערכות שקולות של זרימת נוזלים או זרימה חשמלית.

איך נוצר הקשר בין בעיית הקפיצים לבעיית הזרימה המקורית? הסוד טמון בשני עניינים חשובים. הראשון הוא שימור הצמתים. מספר המכוניות הנכנסות לצומת שווה למספר המכוניות היוצאות ממנו, ובאותו אופן הכוח הפועל למעלה בצומת שווה לכוח הפועל למטה באותו צומת (כלומר הכוח שקול לזרם). העניין השני הוא שמסלולים שמחברים בין צמתים ופעילים בו-זמנית חייבים לגבות מחיר זהה. כלומר אם שתי דרכים נמצאות בשימוש בו-זמנית, זמן המעבר בהן יהיה שווה. ובאנלוגיה, מתיחת הקפיץ בהן שווה (הגוף תמיד מאוזן).

כותבי המאמר מסכמים את דבריהם בכך שהתנהגות אנלוגית לפרדוקס ברס נמצאת בוודאי בעוד מערכות זרימה קלאסיות, וכל שנותר הוא לחפש אותן. השנה התפרסם מאמר בכתב העת המדעי הנחשב ביותר בפיסיקה – Physical Review Letters –שבו החוקרים הראו את האפקט שוב, אבל הפעם במערכת הולכת זרם קוונטית! אבל די לצרה בשעתה.

ד"ר אורן שעיה
פוסט-דוקטורנט בפקולטה למדעי החיים באוניברסיטת תל אביב וכותב הבלוג עד כדי קבוע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

3 תגובות

  • נועם

    פתיחת כביש חדש

    האם פתיחת כביש חדש מביאה לירידה בעומסי התנועה?
    בדוגמה שניתנה כאן לא נפתח שום נתיב נוסף למעבר בין המוצא ליעד, אלא רק נתיב המחבר בין שני הנתיבים הקיימים ומאפשר החלפה ביניהם. אני חושב שברור אינטואיטיבית שהדבר לא יפחית את העומס.
    חשבתי בתחילה שהשאלה היא על פתיחת נתיב נוסף של ממש - זוהי באמת שאלה שקשורה לתורת המשחקים. מפני שכעת יותר רכבים יכולים ליסוע בו זמנית וזמן הנסיעה מתקצר, אבל הדבר עלול לגרום ליותר נהגים להחליט לבצע את הנסיעה ובסופו של דבר להגדיל את העומס.

  • אסף

    שני קפיצים זהים מחוברים בטור

    גודלו של קבוע הקפיץ השקול יהיה חצי מזה של קפיץ בודד. למה רבע?

  • אורן ש.

    אתה כמובן צודק

    אסף, אתה כמובן צודק, מדובר בפליטת מקלדת.
    אני אבקש מהעורך לתקן את את הטקסט.
    למי שמעוניין לקרא כיצד החישוב מתבצע אני ממליץ על הערך Hooke's law בויקיפדיה, תחת הכותרת Multiple springs. אם לוחצים שם במקום הנכון, ניתן לקבל את הפיתוח המתמטי המלא.