לפעמים גם מתמטיקאים מעגלים פינות, ולא מפרטים את כל שלבי ההוכחה. איך עושים קיצורי דרך כאלה והאם הם לגיטימיים?

הגיאומטריה שלומדים בבית הספר היא אולי הדבר הקרוב ביותר למתמטיקה האידיאלית. מתחילים מאקסיומות, מתקדמים באמצעות הוכחות, דבר דבור על אופניו והכול מסודר. אך כמו האימפריה הרומית הקדושה, שנהוג להגיד שלא הייתה אימפריה, לא רומית ולא קדושה, גם התמונה הרומנטית הזאת היא שקר וכזב. ובעוד שיש הרבה מאוד להגיד על המתמטיקה של בית הספר, היום נפנה את תשומת לבנו להוכחות. 

המתמטיקה איננה יצור מושלם מעולם האידיאות – מעל הכול היא פרקטיקה של בני אדם. אם עץ נפל ביער ואיש לא שמע על ההוכחה לכך, הרי שלכל צורך מעשי הוא לא באמת נפל. ואם כל העולם המתמטי מסכים שהוכחתם שהעץ נפל, האם זה לא אומר שבמובן מסוים הוא נפל? נכון, התיאור הזה קצת מוגזם: אומנם דברי ימי המתמטיקה שופעים פספוסים ומחלוקות על תקפותן של הוכחות, אבל אחד הפלאים של התחום הזה הוא שבסופו של דבר העניינים מתיישבים. יש שם אמת שאי אפשר להתעלם ממנה. 

עם זאת, העיסוק המתמטי היומיומי רחוק מאוד לפעמים מהאידיאל האוקלידי הלא מושג הזה של הוכחות מסודרות המבוססות על אקסיומות. כבודה של האמת במקומה מונח, אבל בשלבי ביניים רבים העבודה המתמטית היא עיסוק חברתי לא פחות מאשר מתמטיקה נטו.

בשלבים כאלה מוצאות את מקומן שיטות הוכחה שלעיתים קרובות לא מקבלות את תשומת הלב הראויה. השיטות הללו אינן "נכונות" ואינן "שגויות" – הן משהו אחר: הוכחות מהסוג השלישי.

אוקלידס ותלמידיו בציור המפורסם של רפאל | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
לא תמיד הכל מסתדר לפי ההוכחות שלו, שנלמדות בבית הספר. אוקלידס ותלמידיו בציור המפורסם של רפאל | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

1. קל לראות כי...

באמת קל לראות? לאו דווקא. העיקר הוא שהשיטה הזאת משמשת אותנו כדי לדלג מעל שלב בהוכחה שאיננו רוצים להיכנס אליו לפרטי פרטים או שאיננו מסוגלים להתמודד איתו כרגע. אולי הוא טכני ומסורבל; אולי הוא טריוויאלי וגורע מהיופי של מה שעשינו; אולי מסתתר פה סיבוך שמסיבות דידקטיות איננו רוצים לפתוח עכשיו ואנחנו בוחרים להסוות את קיומו מאחורי תירוץ; ואולי… אולי אנחנו טועים, ולא באמת קל לראות.

מה עושים? מגיעים למהמורה הלא רצויה, אומרים "קל לראות כי" ומדלגים למסקנה הבאה. אם עושים את זה מספיק מהר ובאלגנטיות, אפשר לקוות שהצופים לא ישימו לב – או שלפחות ירגישו לא נעים להעיר לנו. 

2. הבט!

המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן, מפורסם בכך שהצליח להגיע להישגים אדירים בתחומים רבים בלי שזכה להכשרה מתמטית פורמלית. מספרים עליו שרבות מההוכחות שלו נעשו בשיטת "הבט". הוא היה מוצא דרכים מתוחכמות להמחיש בעיות מתמטיות באופן חזותי, כך שהתשובה לשאלה הייתה מוטמעת כבר בשרטוט... לפחות מבחינתו. כך לא היה לו צורך בשום תוספת של נימוקים, טיעונים או הוכחות – די היה להראות את השרטוט, ולהביט. 

מה עושים? כשמגיעים למהמורה לא רצויה משרטטים שרטוט שמייצג את ההוכחה, נועצים בו (ובצופים) מבט רב משמעות, ולא אומרים דבר. 

3. נפנופי ידיים

"משיקולי סימטריה", "אם נמשיך את הפונקציה באותה הצורה", "אם בשני מצבי הקיצון זה נכון אז..." וטענות נוספות מאותה משפחה, כולן דודנים רחוקים של "קל לראות כי..." הידוע לשמצה. ההבדל הוא בייחוס המשפחתי: הטענות הללו באות מבתים מכובדים יותר, מעוטרות במילים מתמטיות מנופחות יותר או פחות, ובעיקר נסמכות על גרעין של אמת. ההוכחה בנפנופי ידיים לא מנסה להסתיר את הזינוק הלוגי שהיא עושה, ואף מספקת לו הסבר – אבל ההסבר שהיא נותנת הוא כללי, עמום ובלתי מספק לעין הדקדקנית. 

האם הוכחה בנפנופי ידיים היא באמת הוכחה? לרוב התשובה תהיה "כן" חד משמעי מצד מי שמבין את ההוכחה המלאה, ו"לאו" נחרץ מצד מי שלא. 

הכתבה פורסמה במקור בבלוג של מיכאל גורודין, "מורה, לא מחנך".
 

5 תגובות

  • א.עצבר

    מתמטיקה, גיאומטריה, וידיעת כזב בת 2000 שנים

    איך הופיעו ידיעות כזב בעולם המדעים המדויקים. ידיעות כזב קיימות בכל חברה אנושית, וגם בקרב החברה האנושית
    העוסקת במדע מדויק (מתמטיקה, גיאומטריה, ופיזיקה) הפיזיקאים מצאו את הדרך " לפסול ידיעות כזב"
    הפיזיקאים מעמידים תמיד את הרעיונות שלהם למבחן המציאות הטבעית,
    ואם מציאות זו קובעת שהרעיון שגוי, אז הם מתקנים את עצמם. הניסוי המעשי הנערך במציאות הפיזיקלית הטבעית הוא הפוסק האחרון בעולמם של הפיזיקאים ,וכולם הסכימו לקבל את פסיקתו.
    ניסוי מעשי חדשני יכול לפסול תיאוריה מקובלת במשך שנים רבות, ובמקומה תבוא ללא היסוס תיאוריה חדשה.
    לכן לא פלא הוא שהפיזיקה כמדע מעשי משתנה ללא הרף, ובעקבות השינויים היא משתפרת בהבנת המציאות, ומגיעה להישגים מעשיים מופלאים , הנמצאים כיום על גבול המדע הבדיוני. ואילו המתמטיקאים לא רגילים להעמיד את הרעיונות שלהם למבחן הניסוי המעשי , והם מסתפקים במבחן ההיגיון של עצמם.
    המתמטיקאים הלכו מההתחלה בדרך התבונה הטהורה וההיגיון הצרוף, מכיוון שהם האמינו שהתבונה וההיגיון הצרוף , יובילו אותם אל האמת. חובה להדגיש כי המתמטיקאים קבעו בעצמם מהו ההיגיון הצרוף ומהי התבונה הטהורה, ולכן הם הציגו את המתמטיקה כמבנה רעיוני שאין בו טעויות, ושלא ייתכן שיהיו בו טעויות. העיסוק המתמטי מעולם לא כלל מנגנון ביקורת טבעי שקיים במציאות מכוח עצמו, ובהכרח נוצרה כאן אפשרות , שידיעות כזב מתמטיות יקננו בתוך המתמטיקה במשך מאות שנים, ולא תהיה כל דרך לסלקן. ומדוע לא תהיה אפשרות לסלקן ? מכיוון שהמתמטיקה כבר קבעה מראש "שהיא עצמה מבנה רעיוני שאין בו טעויות, ולא ייתכן שיהיו בו טעויות" כך נוצרו כל התנאים, שידיעות כזב יקננו בתוך המתמטיקה אולי לנצח. הנה דוגמה לידיעת כזב מתמטית שהחזיקה מעמד 2000 שנים ?
    קיימת ידיעת כזב מתמטית עוד מתקופת ארכימדס, הקובעת כי מספר יחיד שערכו כ 3.14 , הוא שמאפשר את המעבר בין קוטרו של כל מעגל ( קטן או גדול) אל אורך ההיקף שלו. אין שום אפשרות לפעול נגד ידיעת כזב זו, מכיוון שמלמדים אותה כידיעה מתמטית אמיתית בבתי ספר ובאוניברסיטאות. היא גם מופיעה כידיעה אמיתית בוויקיפדיה, וכמעט בכל פרסום של המדעים המדויקים . המספר 3.14 נטוע היטב בתודעה האנושית, ויש לו יום חג בתאריך 14/3 על המספר הזה 3.14 כתבו ספר, והוא מופיע גם בסרט.
    מספר זה 3.14 גם קיבל את התואר "קבוע מתמטי" ויש לו מקום של כבוד בלימודי המתמטיקה. ידיעת כזב זו של המספר היחיד 3.14, עיכבה למעשה את התפתחות הגיאומטריה , וזו נשארה קפואה ומאובנת כמו בזמנו של אוקלידס. את ידיעת הכזב הזו אפשר רק להפריך בדרכם של הפיזיקאים, כלומר בדרך של ניסוי מעשי ממשי הכולל מדידה מדויקת מאוד.
    דרך כזו נפסלת מיד על ידי המתמטיקאים, כיוון שהם קבעו שרק בדרך התבונה וההיגיון אפשר לדבר אתם.
    אבל בדרך התבונה וההיגיון, המתמטיקאים כבר קבעו שאין טעויות במתמטיקה, ולכן אין טעם להציע דרך של ניסוי מעשי. לכן ידיעת הכזב של 3.14 יכולה להתקיים לנצח, אבל לא לעולם חוסן.
    בשנת 2017 נערך ניסוי ההיקפן, והוא הוכיח כי לכל גודל אמיתי של מעגל יש מספר מעבר ייחודי, המאפשר את המעבר בין אורך הקוטר לאורך ההיקף. מספרי המעבר האלה נמצאים בתחום צר, בין 3.14 ל 3.16 ניסוי ההיקפן מופיע ביוטיוב Aetzbar proves the … א.עצבר

  • אנונימי

    דוקא נהנתי מאוד מהכתבה

    דוקא נהנתי מאוד מהכתבה
    בתור תלמידה זיהיתי את עצמי משתמשת בזה הרבה.....

  • דניאל

    כתבה לא ראויה לאתר הרוצה להנגיש מדע לציבור.

    כתבה לא טובה שעושה עוול למתמטיקאים. זה נכון שקיימים קיצורי דרך, ולפעמים מוצגות הוכחות לא מלאות מסיבה כזו או אחרת. אך מהכתבה משתמע שמדובר בשרלטנות, עצלנות או חוסר כנות. לרוב, בטח ובטח במאמרים חשובים במיוחד, אין כך הדבר ואם יש קפיצות לוגיות יש להן סיבות טובות. בחלק גדול מהמקרים השלמת הפרטים מושארת למחקר עתידי ומדגישה שאלות פתוחות או חדשות עליהן יש לענות. היה טוב לו כותב הכתבה היה מצליח להנגיש לקהל הרחב קצת מהליכי החשיבה הללו במקום לתת את הרושם שמדובר ב"עבודה בעיניים". כפי שמשתמע מהתגובות חלק מהקוראים ממש חושבים שמדובר בבגדי המלך החדשים. חבל.

  • האזרח ק

    בגדי המלך החדשים

    "האם הוכחה בנפנופי ידיים היא באמת הוכחה? לרוב התשובה תהיה "כן" חד משמעי מצד מי שמבין את ההוכחה המלאה, ו"לאו" נחרץ מצד מי שלא. " ***קצת כמו בגדי המלך החדשים*** כאילו זה הוכחה ואם אתה חושב שלא אז אתה טיפש. אם חסרים שלבים בהוכחה, אז זה לא הוכחה, נקודה.

  • אנונימי

    תמיד חסרים פרטים, אלא אם כן

    תמיד חסרים פרטים, אלא אם כן אנחנו תוכנת מחשב מהז׳אנר של proof assistant (למשל Coq).