שלושת חוקי קפלר הינם חוקים אמפיריים אשר ניתנים לגזירה מהמכניקה הניוטונית. היסטורית, ניוטון גזר את חוקי קפלר מהמכניקה הניוטונית באופן גיאומטרי, אך כמובן שניתן גם לגזור אותם בעזרת חשבון דיפרנציאלי.
מן הסתם, לא נפרט בתשובה זו את אופן הגזירה, אך ננסה להסביר בצורה אינטואיטיבית את הקשר ביניהן.
תשובה זו מתבססת על התשובות הבאות:
- למה הארץ מסתובבת סביב השמש בתנועה אליפטית כמעט-מעגלית ולא מעגלית:
- מהם חוקי קפלר:
חוקי קפלר מתוארים באיור המובא מטה. החץ האדום מתאר את המהירות הרגעית של כוכב הלכת החג סביב השמש בכל נקודה במסלול. כמובן, שאיור זה מוגזם בכך שהוא מתאר אליפסה בעלת אקצנטריות גדולה מאוד, לצורך הדגמה.
מכיוון שהמהירות הינה וקטור, כיוון מהירות הוקטור מצויינת ע"י כיוון החץ האדום וגודל המהירות מצויין ע"י אורך החץ האדום.
בגלל החוק השני של קפלר, וקטור המהירות משתנה באופן רציף הן בגודלו והן בכיוונו במהלך תנועתו במסלול האליפטי.
אם המסלול היה מעגלי, גודל המהירות היה קבוע אבל כיוונו היה משתנה ברציפות. מכיוון ששינוי בגודל המהירות או שינוי בכיוון המהירות מצביע על תאוצה, בהתאם לחוק השני של ניוטון, אנו מסיקים שישנה תאוצה רציפה כשהפלנטה חגה במסלולה (באם במסלול אליפטי או מעגלי). על כן, על פי החוק השני של ניוטון ישנו כוח שפועל בכל נקודה על המסלול. יתרה מכך, הכוח אינו קבוע בגודלו, משום ששינוי במהירות (תאוצה) הינו גדול יותר כאשר הפלנטה הינה בקרבת השמש במסלולה האליפטי.
נתמצת איך חוקי קפלר נובעים מחוקי ניוטון. מכיוון שהפלנטות נעות במסלולים אליפטיים, על פי החוק הראשון של קפלר, הפלנטות מאיצות באופן רציף כפי שציינו לעיל. וכפי שעוד ציינו, דבר זה מביא אותנו לכלל הבנה שישנו כוח שפועל באופן רציף על אותה פלנטה. מכיוון שהקו פלנטה-שמש מכסה שטחים זהים בזמנים זהים, החוק השני של קפלר, אפשר להראות שהכוח חייב להיות בכיוון משמש אל הפלנטה.
מחוק קפלר הראשון, המסלול הוא כאמור אליפטי כאשר השמש ממוקמת באחד ממוקדי האליפסה. מחוקי ניוטון ניתן להראות שזה אומר שהגודל של הכוח חייב להשתנות בצורה הופכית לריבוע המרחק שבין הפלנטה והשמש. החוק השלישי של קפלר והחוק השלישי של ניוטון רומזים שהכוח חייב להיות פרופורציונאלי למכפלה המסות של הפלנטה והשמש.
על כן, חוקי קפלר וחוקי ניוטון הנלקחים ביחד רומזים לנו שהכוח שמחזיק את הפלנטות במסלולם (עם מהירות הפלנטה שמשתנה באופן רציף במסלול אליפטי) הוא:
1. מכוון מהשמש לכיוון הפלנטה.
2. הוא פרופורציונאלי למכפלת המסות של השמש והפלנטה.
3. הוא פרופורציונאלי הופכי לריבוע המרחק שבין הפלנטה והשמש.
מאפיינים אלו הם למעשה בדיוק הצורה של כוח הכבידה, עם קבוע הכבידה האוניברסאלי G כקבוע הפרופורציה. על כן, חוקי התנועה של ניוטון, עם כוח הכבידה (גרוויטציה) המיושם בחוק השני, מביא אותנו לחוקי קפלר, והפלנטות נשמעות לאותם חוקי תנועה החלים על גופים הנמצאים על הארץ!
חתכים קוניים ומסלולי כבידה:
אנו יכולים ליצור אליפסה אם ניקח חרוט (קונוס) ונחתוך אותו בזוית. לפי האופן שבו חותכים את החרוט ניתן לקבל אליפסה, עיגול, פרבולה והיפרבולה. מהסיבה הזאת אנו קוראים לצורות הללו חתכים קוניים.
בשונה מעיגול שלו מרכז אחד (והוא למעשה מקרה פרטי של אליפסה), עבור אליפסה יש שתי נקודות אמצע שהן נקודות המוקד שלה. המיוחד בנקודות הללו הוא שסכום המרחקים מכל נקודה אל שתי הנקודות הללו נשאר קבוע.
ארבעת חתכי החרוט. הצורות הגאומטריות מתקבלות כאשר מישור חותך את החרוט. התמונה מימין לקוחה מויקיפדיה.
למעשה, האליפסה היא לא המסלול האפשרי היחיד בשדה כבידה.
על פי ניתוח משוואות ניוטון, המסלולים האפשריים בשדה כבידה יכולים להיות חתכים קוניים (ראו איור). וכפי שציינו הם נקראים כך משום שהם מתקבלים ע"י חיתוך חלקים מקונוס.
דוגמאות למסלולי כבידה:
מסלולים אפשריים בשדה כבידה: מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה.
דוגמאות אלו למעשה קיימים בשדה כבידה. בכל מקרה, הפקטור הקובע המשפיע על טבע המסלול הוא המהירות היחסית של האובייקט במסלולו. המסלולים של חלק מהפלנטות, לדוגמא נוגה, הם אליפסות בעלות אקצנטריות קטנה מאוד עד כדי שהם קרובים להיות מסלולים 'מעגליים', ואנו יכולים לשים לויין מלאכותי במסלול סביב הארץ כך שינוע במסלול מעגלי אם נבחר בכך.
ישנם כוכבי שביט בעלי מסלולים פרבוליים. דבר זה אומר שהם עוברים את השמש פעם אחת ואז עוזבים את מערכת השמש ולעולם לא חוזרים. ישנם כוכבי שביט אחרים שהם בעלי מסלול אליפטי ועל כן סובבים את השמש עם זמן מחזור אופייני.
האינטראקציה הגרוויטציונית בין שני כוכבים, באופן כללי, מסתיים במסלול היפרבולי עבור שני הכוכבים. על כן, המסלולים האליפטיים של קפלר הם רק דוגמא אחת לסוג של מסלולים בשדה גרוויטציוני. רק מסלולים אליפטיים ובכלל זה המקרה הפרטי של מעגל, מובילים למסלול סגור (קשור); שאר סוגי המסלולים משתייכים למסלול עם מפגש גרוויטציוני חד-פעמי.
עבור כוח מרכזי נתון, הגדלת המהירות גורמת למסלול להשתנות ממעגל, לאליפסה, לפרבולה ולהיפרבולה, עם השינויים המתרחשים במהירויות קריטיות ספציפיות. לדוגמא, אם מהירות הארץ (שהיא כמעט מעגלית) הייתה גדלה בפקטור של 1.4, המסלול היה משתנה לפרבולה והארץ הייתה עוזבת את מערכת השמש.
מאת: חיים ברק
המחלקה לפיזיקה של חלקיקים ואסטרופיזיקה
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.