שלושת חוקי קפלר הינם חוקים אמפיריים אשר ניתנים לגזירה מהמכניקה הניוטונית. היסטורית, ניוטון גזר את חוקי קפלר מהמכניקה הניוטונית באופן גיאומטרי, אך כמובן שניתן גם לגזור אותם בעזרת חשבון דיפרנציאלי.
מן הסתם, לא נפרט בתשובה זו את אופן הגזירה, אך ננסה להסביר בצורה אינטואיטיבית את הקשר ביניהן.

תשובה זו מתבססת על התשובות הבאות:
- למה הארץ מסתובבת סביב השמש בתנועה אליפטית כמעט-מעגלית ולא מעגלית:
- מהם חוקי קפלר: 

חוקי קפלר מתוארים באיור המובא מטה. החץ האדום מתאר את המהירות הרגעית של כוכב הלכת החג סביב השמש בכל נקודה במסלול. כמובן, שאיור זה מוגזם בכך שהוא מתאר אליפסה בעלת אקצנטריות גדולה מאוד, לצורך הדגמה.
מכיוון שהמהירות הינה וקטור, כיוון מהירות הוקטור מצויינת ע"י כיוון החץ האדום וגודל המהירות מצויין ע"י אורך החץ האדום.

בגלל החוק השני של קפלר, וקטור המהירות משתנה באופן רציף הן בגודלו והן בכיוונו במהלך תנועתו במסלול האליפטי.
אם המסלול היה מעגלי, גודל המהירות היה קבוע אבל כיוונו היה משתנה ברציפות. מכיוון ששינוי בגודל המהירות או שינוי בכיוון המהירות מצביע על תאוצה, בהתאם לחוק השני של ניוטון, אנו מסיקים שישנה תאוצה רציפה כשהפלנטה חגה במסלולה (באם במסלול אליפטי או מעגלי). על כן, על פי החוק השני של ניוטון ישנו כוח שפועל בכל נקודה על המסלול. יתרה מכך, הכוח אינו קבוע בגודלו, משום ששינוי במהירות (תאוצה) הינו גדול יותר כאשר הפלנטה הינה בקרבת השמש במסלולה האליפטי.

נתמצת איך חוקי קפלר נובעים מחוקי ניוטון. מכיוון שהפלנטות נעות במסלולים אליפטיים, על פי החוק הראשון של קפלר, הפלנטות מאיצות באופן רציף כפי שציינו לעיל. וכפי שעוד ציינו, דבר זה מביא אותנו לכלל הבנה שישנו כוח שפועל באופן רציף על אותה פלנטה. מכיוון שהקו פלנטה-שמש מכסה שטחים זהים בזמנים זהים, החוק השני של קפלר, אפשר להראות שהכוח חייב להיות בכיוון משמש אל הפלנטה.

מחוק קפלר הראשון, המסלול הוא כאמור אליפטי כאשר השמש ממוקמת באחד ממוקדי האליפסה. מחוקי ניוטון ניתן להראות שזה אומר שהגודל של הכוח חייב להשתנות בצורה הופכית לריבוע המרחק שבין הפלנטה והשמש. החוק השלישי של קפלר והחוק השלישי של ניוטון רומזים שהכוח חייב להיות פרופורציונאלי למכפלה המסות של הפלנטה והשמש.
על כן, חוקי קפלר וחוקי ניוטון הנלקחים ביחד רומזים לנו שהכוח שמחזיק את הפלנטות במסלולם (עם מהירות הפלנטה שמשתנה באופן רציף במסלול אליפטי) הוא:
1. מכוון מהשמש לכיוון הפלנטה.
2. הוא פרופורציונאלי למכפלת המסות של השמש והפלנטה.
3. הוא פרופורציונאלי הופכי לריבוע המרחק שבין הפלנטה והשמש.
מאפיינים אלו הם למעשה בדיוק הצורה של כוח הכבידה, עם קבוע הכבידה האוניברסאלי G כקבוע הפרופורציה. על כן, חוקי התנועה של ניוטון, עם כוח הכבידה (גרוויטציה) המיושם בחוק השני, מביא אותנו לחוקי קפלר, והפלנטות נשמעות לאותם חוקי תנועה החלים על גופים הנמצאים על הארץ!

חתכים קוניים ומסלולי כבידה:
אנו יכולים ליצור אליפסה אם ניקח חרוט (קונוס) ונחתוך אותו בזוית. לפי האופן שבו חותכים את החרוט ניתן לקבל אליפסה, עיגול, פרבולה והיפרבולה. מהסיבה הזאת אנו קוראים לצורות הללו חתכים קוניים.
בשונה מעיגול שלו מרכז אחד (והוא למעשה מקרה פרטי של אליפסה), עבור אליפסה יש שתי נקודות אמצע שהן נקודות המוקד שלה. המיוחד בנקודות הללו הוא שסכום המרחקים מכל נקודה אל שתי הנקודות הללו נשאר קבוע.


ארבעת חתכי החרוט. הצורות הגאומטריות מתקבלות כאשר מישור חותך את החרוט. התמונה מימין לקוחה מויקיפדיה.

למעשה, האליפסה היא לא המסלול האפשרי היחיד בשדה כבידה.
על פי ניתוח משוואות ניוטון, המסלולים האפשריים בשדה כבידה יכולים להיות חתכים קוניים (ראו איור). וכפי שציינו הם נקראים כך משום שהם מתקבלים ע"י חיתוך חלקים מקונוס.

דוגמאות למסלולי כבידה:


מסלולים אפשריים בשדה כבידה: מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה.

דוגמאות אלו למעשה קיימים בשדה כבידה. בכל מקרה, הפקטור הקובע המשפיע על טבע המסלול הוא המהירות היחסית של האובייקט במסלולו. המסלולים של חלק מהפלנטות, לדוגמא נוגה, הם אליפסות בעלות אקצנטריות קטנה מאוד עד כדי שהם קרובים להיות מסלולים 'מעגליים', ואנו יכולים לשים לויין מלאכותי במסלול סביב הארץ כך שינוע במסלול מעגלי אם נבחר בכך.

ישנם כוכבי שביט בעלי מסלולים פרבוליים. דבר זה אומר שהם עוברים את השמש פעם אחת ואז עוזבים את מערכת השמש ולעולם לא חוזרים. ישנם כוכבי שביט אחרים שהם בעלי מסלול אליפטי ועל כן סובבים את השמש עם זמן מחזור אופייני.

האינטראקציה הגרוויטציונית בין שני כוכבים, באופן כללי, מסתיים במסלול היפרבולי עבור שני הכוכבים. על כן, המסלולים האליפטיים של קפלר הם רק דוגמא אחת לסוג של מסלולים בשדה גרוויטציוני. רק מסלולים אליפטיים ובכלל זה המקרה הפרטי של מעגל, מובילים למסלול סגור (קשור); שאר סוגי המסלולים משתייכים למסלול עם מפגש גרוויטציוני חד-פעמי.

עבור כוח מרכזי נתון, הגדלת המהירות גורמת למסלול להשתנות ממעגל, לאליפסה, לפרבולה ולהיפרבולה, עם השינויים המתרחשים במהירויות קריטיות ספציפיות. לדוגמא, אם מהירות הארץ (שהיא כמעט מעגלית) הייתה גדלה בפקטור של 1.4, המסלול היה משתנה לפרבולה והארץ הייתה עוזבת את מערכת השמש.

מאת: חיים ברק
המחלקה לפיזיקה של חלקיקים ואסטרופיזיקה
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.

3 תגובות

  • א.עצבר

    אפשר לבטל את מושג הגרוויטציה

    כוח המשיכה נולד מהנחה האומרת : אם מרפים מתפוז הוא "לא מסוגל" ליפול ארצה.
    היות והמציאות מראה שכאשר מרפים מתפוז הוא כן נופל ארצה בתאוצה קבועה ובקו ישר אנכי,ניתן לשער על יסוד ההנחה, "שמשהו ערטילאי הבוקע מהאדמה" מושך את התפוז ומפיל אותו ארצה.
    לאחר ההנחה וההשערה, ועל יסוד תקפותו האמפירית של חוק שימור האנרגיה, מגיעה מסקנה.
    "המשהו" הזה הבוקע מהאדמה צריך להיות "ספק של אנרגיה", מכיוון שכמות האנרגיה הקינטית של תפוז נופל, הולכת וגדלה ביחס ישר לאורך הדרך של הנפילה.
    הנחה זו , השערה זו , ומסקנה זו - הם סיפור .
    המושגים המדעיים בסיפור הזה, הם התאוצה הקבועה הנמדדת, והאנרגיה הקינטית של התפוז.
    כוח המשיכה הוא מושג לא מדעי, ואפשר להחליף אותו "בגמד חביב שקוף" המפיל ארצה את התפוז.
    הגמד השקוף הוא ספק האנרגיה הקינטית של התפוז, וכך מתקיים חוק שימור האנרגיה. וכאן יכול לבוא סיפור אחר.
    אפשר לוותר על כוח המשיכה הערטילאי ועל הגמד החביב השקוף, ולהסתפק בהנחה פשוטה.
    התפוז נופל מכוח עצמו, והאנרגיה הקינטית של נפילתו נובעת מהאנרגיה הפנימית של חומר התפוז.
    הנחה פשוטה זו מקיימת את חוק שימור האנרגיה.
    סיבת הנפילה של גופים אינה כוח משיכה, ואינה גמד חביב שקוף.
    סיבת הנפילה היא חוק טבע של שימור כמות האנרגיה.
    א.עצבר המשוואה כוח = מסה כפול תאוצה , חסרת משמעות פיזיקלית
    האגף השמאלי מביע כמות אנרגיה ההולכת וגדלה עם הזמן.,
    כדי שהמשוואה תהיה בעלת משמעות פיזיקלית, עליה לקיים את חוק שימור האנרגיה
    כדי שחוק שימור האנרגיה יתקיים , הכוח הניוטוני צריך להיות ספק אנרגיה.
    אבל הכוח הניוטוני אינו ספק אנרגיה,.
    לכן, המשוואה הניוטונית היא חסרת משמעות פיזיקלית.
    במשוואה זו רק התאוצה היא מושג מדעי נמדד.
    כוח ומסה אינם מושגים מדעיים, ולכן אינם נמדדים.
    את המשוואה הזו אפשר לתרגם למכונית המושכת עגלה .
    העגלה קשורה למכונית עם קפיץ.
    כאשר המכונית נעה בתאוצה קבועה הקפיץ יציג מתיחות קבועה.
    קפיץ מתוח מייצג כמות של אנרגיה.
    כמות האנרגיה שבקפיץ, מייצגת את כמות האנרגיה הקינטית של העגלה, הנרכשת ביחידת דרך.
    כמות האנרגיה שמשקיעה המכונית המושכת = לכמות האנרגיה הנרכשת של העגלה.
    כמות האנרגיה שבקפיץ המתוח – היא רק מדיד .
    בטעות מכנים את המדיד בשם כוח.
    הכוח אינו מאיץ את העגלה....המכונית מאיצה את העגלה.
    א.עצבר

  • א.עצבר

    קשר חדש בין קפלר לגלילי

    היקום על פי עצבר , תקציר התקצירים, 12/4/2015

    הקופץ ממקפצה אל הבריכה, אינו חש בכוח המושך אותו כלפי מטה.
    הבחנה זו מספיקה לדחות את הרעיון הניוטוני של כוח משיכה.
    ואם כוח משיכה לא קיים....איך פועל היקום ?
    על יסוד הגותם ומפעלם של אריסטו , קופרניקוס, גליליאו , קפלר , ורעיון ניוטוני מסוים,
    ובתוספת קטנה של ידיעתי הטבעית, ניתן להציג יקום חדש מופלא , הפועל בלי כוח משיכה.

    אריסטו: אין ריקנות בטבע.
    רעיון עצברי : החלל האינסופי התמלא בזמן סטטי , שהוא נח מוחלט וקר מוחלט (גבול הקור)
    בכל כיוון שנבחר, יימדד זמן סטטי של כ 0.0036 מיקרו שנייה למטר. (ניסויים ישפרו את המספר)
    זמן סטטי נמדד במצב של תנועה כלפי שעון. זמן דינמי נמדד במצב של מנוחה, כלפי שעון.
    הזמן הסטטי הוא התווך שבו ינועו גלי זמן במהירות הקרובה ל 300000 ק"מ לשנייה.
    השם המקובל לגלי זמן הוא גלים אלקטרו מגנטיים.
    זמן סטטי וזמן דינמי הם ממשיים – מכיוון שהם נמדדים.

    רעיון עצברי : יקום דינמי חדש עם מסלולי תנועה בורגיים.
    כמות סופית של כוכבים נעה בתוך הזמן הסטטי במסלולים בורגיים (מסתובבים ומתקדמים)
    תנועת כוכב במסלול בורגי היא טבעית – וכוכב נח לא קיים.
    נתוני המסלול הבורגי , קוטר וזווית התקדמות.
    קופרניקוס:
    כל הכוכבים משולבים למערכת תנועה יחידה , מכיוון שכל כוכב הוא גם כוכב מרכזי וגם כוכב צידי .
    הירח הוא כוכב צד של הארץ, והארץ היא כוכב צד של השמש, והשמש היא כוכב צד של כוכב אחר.
    קפלר:
    אם כוכב צד מתרחק מהכוכב המרכזי שלו, הזמן שהוא מקיף את הכוכב המרכזי שלו – יגדל
    הכלל שמצא קפלר : אם המרחק (D) יגדל פי N , הזמן (T) יגדל פי N כפול שורש N
    לכן הגדלת D בחזקת 3 (חלקי) הגדלת T בחזקת 2 = תמיד 1
    אבל אם נרשום D בק"מ בחזקת 3 ( חלקי) T בשעות בחזקת 2 = נקבל מספר שיסומן באות P
    P אופייני של כוכב: לכל כוכב יש P אופייני, והוא מתגלה באמצעות כוכבי הצד שלו.
    את P של הארץ ( 1.3 כפול 10 בחזקת 11 ) מגלים D ו T של הירח.
    את P של השמש ( 429 כפול 10 בחזקת 14) מגלים D ו T של הארץ ( או של מאדים וכו)
    לירח אין כוכב צד , ובכל זאת יש לירח P אופייני.
    נתוני התנועה של לווין המקיף את הירח, יגלו את P אופייני של הירח.
    ניוטון: ניוטון קבע כי לכל כוכב יש כמות חומר M
    ניוטון קבע גם כי......M1 : M2 = P1 : P2

    גליליאו: ( ניסויי גלילי רומזים על קיומו של זמן מחזור מנהרתי)
    בניסוי דמיוני גלילי מרפה מכדור הנופל אל מנהרה המגיעה אל הצד השני של כדור הארץ.
    הכדור נופל ומגביר מהירות , ולאחר שהוא מגיע למרכז כדור הארץ הוא מתחיל להפחית מהירות, עד
    לרגע מנוחה בפתח השני של המנהרה. ( תיאור כללי של תנועת מטוטלת)
    לאחר מכן הוא נופל חזרה עם אותו תיאור, ומגיע ליד של גליליאו.
    הניסוי הזה מגלה את זמן המחזור המנהרתי של כדור הארץ,( 1.4 שעות)
    זמן מחזור מנהרתי, נשאר קבוע בכל משרעת.
    זמן מחזור מנהרתי יסומן כך ]T[

    התיאוריה העצברית נותנת עתה קפיצה בעזרת מפעלם של גליליאו וקפלר
    לכל כוכב יש זמן מחזור מנהרתי אופייני ]T[ , ולכל כוכב יש מספר אופייני P .
    הקפיצה מתאפשרת הודות לנוסחה יקומית חדשה המקשרת בין P ל ]T[
    P כפול ]T[ בחזקת 2 = תוצאה קבועה K
    את K נגלה באמצעות P ו ]T[ של כדור הארץ ונקבל ( 254.8 כפול 10 בחזקת 9 )

    לאחר הקפיצה יבואו מסקנות: היות ו
    P = D^3 : T^2
    אז K שווה גם ל ( D בחזקת 3 חלקי T בחזקת 2 ) כפול ]T[ בחזקת 2
    K הוא מספר קבוע בעל ממד נפחי,(D בחזקת 3) המתקבל כאשר יש שוויון בין T ל T[[
    שורש שלישי של K הוא מרחק של 6300 ק"מ מכוכב מרכזי שבו מתקיים שוויון הזמנים האמור.

    6300 ק"מ הוא מרחק נבחר השייך למבנה היקום , שיש להכיר בו כנתון טבעי.
    התיאוריה העצברית מפיקה עתה חוק טבע חדש: " חוק שוויון הזמנים במרחק נבחר"
    במרחק הנבחר ממרכזו של כוכב – זמן ההקפה סביבו T = לזמן מחזור מנהרתי שלו ]T[.
    חוק שוויון הזמנים במרחק הנבחר - מופיע באופן ברור על פני כדור הארץ.
    רדיוס כדור הארץ 6300 ק"מ ( המרחק הנבחר)
    זמן מחזור מנהרתי של כדור הארץ 1.4 שעות
    לווין מעל ראשינו, משלים הקפה ב 1.4 שעות.

    יקום הרמוני הפועל ללא כוח מאלץ ( אין כוח משיכה)
    לאחר שנקבע מראש כי לכל כוכב יש זמן מחזור מנהרתי אופייני, ומספר P אופייני, ולאחר שנקבע הקשר בין מספר P של כוכב ל זמן מחזור מנהרתי של כוכב, ולאחר הופעתו של חוק שוויון הזמנים במרחק הנבחר, ולאחר הענקת תנועה נצחית במסלול בורגי לכוכבים, הופיע היקום במלוא הדרו.
    תנועת הכוכבים בתוך הזמן הסטטי היא טבעית, נצחית , ובצורת מסלול בורגית. השילוב של כל כוכבי היקום למערכת תנועה יחידה , מתאפשר עקב הקיום של צורת מסלול בורגית.
    מערכת זו ( שהיא חטיבה דינמית שכל חלקיה נעים) נעה לנצח בחלל אינסופי מלא בזמן סטטי,
    המערכת הדינמית נעה בקו ישר , בכיוון מסוים , במהירות של 12 פעם מהירות גלי הזמן.
    תנועות חלקיה – הם במסלולים בורגיים הניכרים בקוטר מסוים וזווית התקדמות מסוימת..

    אין הסבר מכני ליקום.
    יש רעיונות מופלאים המסבירים את מבנה היקום.
    הפרשנות של הרעיונות המופלאים, תהא נובעת מעולמו הפנימי של האדם.

    מאמרים מורחבים מאת א.עצבר
    פיסיקה , תיאוריה חדשנית המבוססת על זמן סטטי
    אסטרופיסיקה עצברית , תיאוריה חדשנית של מבנה היקום.
    מעגלים – תיאוריה חדשה של פאיים ייחודיים.

    א.עצבר
    12/4/2015

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןאנה גריבנין

    כוחות וחוק קפלר

    ישנם תופעות רבות שאינן מורגשות לנו אך הם בכל זאת קורות - למשל קרינה אינה מורגשת אך בחשיפה ממושכת ואורכה ניתן לראות את נזקיה. כך גם כח הגרביטציה - ניתן לצפות במסלולים של כוכבים ולהבין מכך שלולא היה כוח גרביטציה הם היו נעים במסלולים אחרים. גוף אינו יכול לנוע במסלול מעוגל ללא כוח שפועל עליו - אנו יודעים זאת מתצפיות עליהן מתבססים חוקי ניוטון.