את רוב כלי המיתר מכוונים באמצעות השוואה פשוטה בין המיתרים. בפסנתר זה בלתי אפשרי. למה? בגלל המתמטיקה

כשאנחנו פורטים על גיטרה נדמה לנו שאנחנו שומעים צליל יחיד, אך למעשה אנו מנגנים אוסף של צלילים שנשמעים בו-זמנית. לכל מיתר יש צליל יסוד משלו, שמאופיין על ידי תדירות יסוד – קצב הרטיטות של המיתר, שנהוג לתאר באמצעות גל עולה ויורד בצורת סינוס.

כשאנו פורטים על מיתר נשמע צליל היסוד, שאליו נלווים סדרה של צלילים עיליים (אובר-טונים). הצלילים העיליים הללו הם למעשה צלילים בתדירויות נוספות שמבוססים על כפולות שלמות של תדירות היסוד. אם צליל היסוד הוא בתדר f, הצליל העילי הראשון יהיה בתדר 2f, הצליל העילי השני יהיה בתדר 3f וכן הלאה.

אם כן, הגיטרה משמיעה צליל מורכב, המכיל גם את צליל היסוד וגם את הצלילים העיליים שלו. צורת הגל של הצליל המורכב היא סכום צורות הגל של צליל היסוד והצלילים העיליים המרכיבים אותו.

כל אלה תלויים במאפייני המיתר, כגון מידת המתיחה שלו, אורכו והמסה שלו. מיתר מתוח מפיק צליל גבוה יותר ממיתר רפוי. על אורך המיתר אפשר להשפיע באמצעות לחיצה על המיתר. בגיטרה, לדוגמה, נלחץ על המיתרים בנקודות שונות כדי להפיק תווים שונים. ככל שהמיתר ארוך יותר כך הצליל נמוך יותר, ועל כן לחיצה על המיתר, שמקצרת אותו. תפיק צליל גבוה יותר.

גם החומר שממנו עשויים המיתרים ישפיע על צלילו של המיתר שעליו פרטנו. מיתרי כינור, למשל, נהגו לייצר במקור ממעי בעלי חיים. כיום רובם עשויים פלדה או חומר סינתטי.

ליחסים בין צלילי המיתר ניתנו שמות. אוקטבה, למשל, מציינת יחס של 1:2 בין תדר היסוד f לצליל העילי הראשון, שתדירותו 2f. קווינטה מציינת יחס של 2:3 בין שני צלילים, למשל בין הצליל העילי הראשון לצליל העילי השני, שתדירותו 3f. כשמנגנים כמה מהתווים הללו יחד מקבלים צליל נעים לאוזן שנקרא הרמוניה, ועל כן רצף הצלילים נקרא "הרמוניות". ההרמוניות הללו שימושיות לכיוון כלי מיתר. למשל ההרמוניה הרביעית במיתר הראשון של הגיטרה זהה להרמוניה השלישית במיתר השני, ואפשר למתוח את המיתרים כך ששני הצלילים הללו יהיו זהים.

השילוב בין כלי מיתר לכלי הקשה לא מאפשר כיוונון על פי מרווחים שלמים. מבנה פנימי של פסנתר | צילום: |Shutterstock
השילוב בין כלי מיתר לכלי הקשה לא מאפשר כיוונון על פי מרווחים שלמים. מבנה פנימי של פסנתר | צילום: |Shutterstock 

המתמטיקה המשונה של הפסנתר

בפסנתר, שנחשב לשילוב של כלי מיתר וכלי  הקשה, זה בלתי אפשרי, וכך גם בכמה כלי נגינה נוספים. יש בו מקש נפרד לכל אחד מ-12 חצאי הטונים בכל אוקטבה, והיות שלרוב הפסנתרים יש טווח של שבע אוקטבות, מדובר בסך הכול ב-84 קלידים – וברוב הפסנתרים יש גם כמה קלידים נמוכים יותר וגבוהים יותר.

נניח שנרצה לכוון את הפסנתר על ידי מרווחים שלמים בין התווים, כך שהאוקטבה תגדיר את המחזוריות שלו. ונתחיל במקש של התו פָה. כדי לעשות את זה נשווה את ההרמוניה התשיעית של המקש להרמוניה השמינית של המקש הבא, סול. הצלילים שנקבל אמורים להיות זהים. אם נעשה את הקפיצה הזו שש פעמים, אנחנו אמורים להגיע למקש הצליל פה באוקטבה אחת גבוהה יותר, כלומר פָה בתדירות כפולה מהפָה המקורי.

אז מה הבעיה? מה שעשינו היה בעצם לקחת את התדירות המקורית f ולהכפיל אותה שש פעמים בתשע שמיניות (9/8). זה שווה ל: f*(9/8)6  שהוא 2.027f. כלומר הגענו לתדר שהוא לא 2f אלא 2.027f. אותו חוסר סִנכרון יקרה אם ננסה לכוון את הפסנתר על ידי שימוש במרווחים אחרים, דוגמת חצאי טונים או קוורטות. מתברר שמבחינה מתמטית אי אפשר לכוון את כל מקשיו של פסנתר על ידי הרמוניות.

מהסיבה הזאת, מכווני פסנתרים משתמשים בשיטה אחרת – כוונון מושווה.  בשיטה הזאת, בין כל שני קלידים צמודים בפסנתר, שחורים ולבנים, יש יחס של 2√12 (שורש 12 של 2). זה מוביל לידי כך שבמעבר של 12 הקלידים בין צליל אחד לצליל שני הגבוה ממנו באוקטבה, נכפיל 12 פעמים ב-2√12. כך נגיע מתדירות f לתדירות 2f. כלומר, בין שני מקשי התו פָה בפסנתר יש אוקטבה אחת בדיוק.

לשיטה הזאת יש מחיר: היא מאלצת אותנו לוותר על דיוק מלא במרווחים האחרים, ועל כן יש סטיות קטנות בכוונון. אך היות שאי הדיוקים הללו הם המחיר שבזכותו אנחנו יכולים לנגן בפסנתר בכל סולם שנרצה, זאת השיטה שבה משתמשים כיום רוב מכווני הפסנתרים.

 

5 תגובות

  • נמרוד שמחוביץ'

    מכוון פסנתרים

    כמכוון פסנתרים אני מוכרח להגיד שחבל שאכן המאמר מאוד לא ברור.
    כמו כן במאמר נכתב שלרוב הפסנתרים יש 7 אוקטבות ולכן 84 קלידים וזו טעות - לרוב הפסנתרים יש 3 צלילים יותר מ
    7 אוקטבות ("לה" עד "דו") ולכן 88 קלידים בעוד שעד בערך אמצע המאה הקודמת היה נהוג סטנדרט נוסף של בדיוק 7 אוקטבות - 85 קלידים - ("לה" עד "לה") ולא 84!!
    (יש לציין שנתקלתי בפסנתרים קוריאניים שהמשיכו עם הסטנדרט של 85 קלידים עד לפני 25 שנים - דבר מאוד חריג.
    אכן יש פסנתרים שבהם יותר מ 88 קלידים וגם הם חריגים מאוד ובדר"כ פסנתרי כנף.
    לגבי הכיוון המושווה - בפועל על מנת לכוון פסנתר יוצר מכוון הפסנתרים אוקטבה "מושווית" במרכז הפסנתר על ידי כך שהוא "מקטין" את הקווינטות ו"מגדיל" את הקוורטות וכך בעצם מפזר את הסטיה המצטברת שווה בשווה בין כל הצלילים.
    מכאן "מעתיק" המכוון את הצלילים בעזרת אוקטבות ימינה ושמאלה וכך מתקבל פסנתר המכוון בכיוון מושווה.
    לקריאת מאמר מצויין בנושא של ד"ר יובל נוב עם דומאות קוליות מוזמנים להיכנס לקישור הבא:
    http://www.haayal.co.il/story_1777
    שבת שלום:)

  • נמרוד שמחוביץ'

    דבר נוסף שרציתי לציין - גם

    דבר נוסף שרציתי לציין - גם גיטרות "סובלות" מאותה הסטיה שמצויינת במאמר - הרי גם גיטרה היא כלי נגינה שהצלילים בו מחולקים לחצאי טונים - כמו המרווח בין שני קלידים צמודים בפסנתר כך גם המרווח בין שני סריגים בגיטרה.
    אני לא מבין מה ההבדל בין הקשה על מיתר לבין פריטה על מיתר אותו מציינת כותבת המאמר - בשניהם נוצר צליל הנקבע ממתח המיתר ושאר הגורמים המצויינים במאמר. קיימים מצבים בהם בכיוון פסנתר נדרש המכוון לפרוט על המיתרים (הגבוהים בצד ימין של הפסנתר).
    בפועל גם בגיטרה אף פעם הקווינטות והקוורטות לא יהיו זכות (מכוונות בצורה מושלמת).
    אני מניח שכל כלי נגינה בו המרווחים בין צליליו הם חצאי טונים מוגדרים - כ 12 צלילים באוקטבה - יסבול מאותה סטיה.
    כלים כמו כלי קשת בהם הצוואר חלק וניתן להפיק מהם צלילים ברזולוציה אין סופית כן יוכלו להפיק מרווחים זכים.

  • אנונימי

    לא מדוייק

    פסנתר אפשר לכוון וכוונו לאורך השנים. הכיוון המושווה נוצר מהצורך לנגן כמה סולמות באותה יצירה בעוד שבכיוונים המקודמים כל כלי (כמו הצ'מבלו.)כוון לסולם אחד בלבד. מציע לכותב לקרוא את ספרה המרתק של דליה כהן על אקוסטיקה ומוסיקה

  • אבי

    מה קרה לכם?

    אחת הכתבות הלא ברורות באתר שלכם. דבר ראשון הכותרת היא קליקבייט: מה זאת אומרת אי אפשר לכוון פסנתר? הרי כן אפשר לכוון פסנתר - הרי יש אפילו מקצוע כזה מכוון פסנתרים.
    דבר שני - הכתבה מתחילה בסדר, אבל אז היא מתחילה להפציץ במונחים מקצועיים שאני לא מבין, ואני חושב שרוב הקהל לא מבין - מה שהופך את הכתבה לבלתי מובנת לחלוטין.
    וכדי שהביקורת שלי תהייה בונה - אני אכתוב את המונחים המקצועיים שמופיעים ללא הסבר:
    "ההרמוניה הרביעית במיתר הראשון של הגיטרה זהה להרמוניה השלישית במיתר השני" - מה? לא הסברתם איך סופרים את ההרמוניות, אז מה זה הרביעית והשלישית.
    "ואפשר למתוח את המיתרים כך ששני הצלילים הללו יהיו זהים." - מה?? על מה מדובר, עד כמה שאני מכיר גיטרה או כל כלי אחר, כל מיתר מיצר צליל שונה, אז על מה מדובר שנוצרים צלילים זהים משני מיתרים שונים?
    " חצאי הטונים בכל אוקטבה" - מילא אוקטבה, אבל מה זה חצאי טונים? אני מכיר טון שהוא 1000 קילו.
    "נניח שנרצה לכוון את הפסנתר על ידי מרווחים שלמים בין התווים, כך שהאוקטבה תגדיר את המחזוריות שלו. ונתחיל במקש של התו פָה. כדי לעשות את זה נשווה את ההרמוניה התשיעית של המקש להרמוניה השמינית של המקש הבא, סול. הצלילים שנקבל אמורים להיות זהים" - מרווחים שלמים של מה? מחזוריות של מה? מה זה הרמוניה תשיעית, ולמה התשיעית, ולמה השמינית של המקש הבא? מאיפה מגיעים כל המספרים הללו ולמה שוב פעם מדברים על צלילים זהים? בפסנתר כל קליד מפיק צליל שונה. על מה מדברים?
    "אם נעשה את הקפיצה הזו שש פעמים, אנחנו אמורים להגיע למקש הצליל פה באוקטבה אחת גבוהה יותר, כלומר פָה בתדירות כפולה מהפָה המקורי." - למה שש פעמים? למה אתם זורקים מספרים בלי להסביר? בתחילת המאמר כתבתם שתדירות כפולה זה צליל עילי ועכשיו תדירות כפולה זה אוקטבה גבוהה יותר?
    טוב - הבנתם את הקטע, אבל שלוש הפסקאות האחרונות עוד יותר גרועות - זורקים מספרים ללא כל הסבר מאיפה הגיעו, 9 שמיניות? ובכלל למה רוצים להגיע לאותו צליל?

  • עמי זהבי

    מתי המציאו את זה? או:

    אז זה היה החידוש של הפסנתר המושווה שבעקבותיו באך התלהב וכתב את 2 הסדרות של הפרלודים-ופוגות לכל הסולמות?