במאמר הזה נציג זווית שונה קצת של שעשוע מתמטי מוכר – ריבוע קסם. מדובר בפטנט מתמטי ותיק שהוזכר לראשונה כבר בסין של האלף השלישי לפני הספירה. בריבוע קסם שגודלו $n \times n$ מסדרים $n^2$ מספרים כך שכל שורה, עמודה ואלכסון מסתכמים באותו מספר הנקרא "קבוע הקסם". ריבועים רבים נבנים ממספרים שלמים עוקבים – 1, 2, 3, 4 וכו', אבל יש גם ריבועים שאפשר לשבץ בהם מספרים שאינם רצופים ואפילו שליליים.
במדור כתבנו כבר לא מעט על ריבועי קסם ושאלנו עליהם שאלות רבות ושונות. בדרך כלל בריבוע קסם המשימה היא לשבץ בו מספרים כך שסכום השורות, העמודות והאלכסונים ייתן קבוע קסם $k$ נתון. הפעם נסתכל על משימה שונה מעט, שבה חלק ממשבצות הריבוע כבר משובצות. נתחיל בתרגיל פשוט יחסית: השלימו את המשבצות החסרות בריבוע הקסם הבא, כך שקבוע הקסם הוא $9$. נסו לפתור בעצמכם לפני שתעברו לפתרון.
מכיוון שחלק מהנתונים ידוע לנו, אפשר להתחיל לפתור את הבעיה. אפשר למשל לשבץ בפינות העליונות מספרים מתאימים (באדום) ולאחר מכן להשלים בהתאם את ארבע המשבצות הנותרות (בכחול).
שימו לב שכדי לפתור את הריבוע הזה לפי הדרישה לא יכולנו לשבץ מספרים עוקבים כמו בריבועים "הקלאסיים", וחלק מהמספרים חזרו על עצמם. אפשר לראות גם שהמשימה הייתה פשוטה יחסית וכל המספרים "הסתדרו" בקלות זה עם זה. כעת נעבור לתרגיל נוסף שבו יש להשלים את המשבצות החסרות בריבוע הקסם עבור קבוע הקסם $6$:
אם תנסו לפתור את הריבוע כפי שעשינו בריבוע הראשון, תגלו שהפעם אתם חייבים להשתמש גם במספרים שליליים.
גם כאן המשימה הייתה פשוטה והמספרים הסתדרו בקלות. נעבור עכשיו לתרגיל שלישי: השלימו את הריבוע הבא, כך שקבוע הקסם יהיה $8$. נסו לבד לפני שתעברו הלאה.
סביר להניח שראיתם שהפעם המשימה לא עולה בקלות. נתחיל כמו קודם בהשלמת המספרים בפינות העליונות (באדום) וננסה שתי דרכים. בראשונה נשלים את המשבצות שבקצות השורה האמצעית, בהתאם לסכומי העמודה הימנית והשמאלית (בכחול). אם נבדוק עכשיו, נראה שקיבלנו סתירה בשורה האמצעית, שבה יוצא שהסכום הוא $12$.
ננסה דרך אחרת – נשלים את המשבצת האמצעית בשורה התחתונה בהתאם לנתונים האחרים בשורה. לאחר מכן נסכום את העמודה האמצעית ונשלים את המשבצת האמצעית בשורה העליונה. הפעם נגיע לסתירה בשורה העליונה, שם נקבל שהסכום הוא $4$.
גם אם תמשיכו לנסות בדרכים שונות (לא חייבים להתחיל דווקא בהשלמת המספרים שבפינות העליונות כמו שראינו כאן), לא תצליחו להשלים את ריבוע הקסם. למעשה, מספיק לקבל סתירה בניסיון הראשון בשביל לקבוע שאין פתרון לריבוע הקסם הנתון. אז מה קורה כאן? מה הבעיה? מדוע הצלחנו להשלים את שני הריבועים הראשונים אך לא את האחרון?
מתי יש פתרון לריבוע קסם?
ננסה למצוא תשובה לשאלה שתעזור לנו לקבוע אם לריבוע הקסם יש פתרון בתנאים הנתונים, בלי שנצטרך להציב בו מספרים. לשם כך נפנה לעזרתה של האלגברה. ניקח ריבוע קסם כמו במקרים הקודמים, אך הפעם נציב במקום מספרים את הפרמטרים $a$, $b$, $c$. ננסח את המשימה כך שיש להשלים את ריבוע הקסם עבור קבוע הקסם $S$. לשם נוחות ההסברים בהמשך נמספר את משבצות הריבוע, כמו שעשינו בריבוע הבא:
מכיוון שכל שורה, עמודה ואלכסון צריכים להסתכם ב-$S$, ננסה להביע במונחים של $a$, $b$, $c$ ו-$S$ את מה שצריך להיות בכל אחת מהמשבצות. כמו בריבועים הקודמים נתחיל במשבצות שנובעות בקלות מהנתונים (צבועות באדום): משבצות 1, 3 הן ההשלמה של האלכסונים ל-$S$, ולכן נקבל שבמשבצת 1 יש לשבץ $S-a-b$ ובמשבצת 3 $S-b-c$. משבצת 8 היא השלמה של השורה התחתונה ל-$S$ ולכן נשבץ בה $S-a-c$.
נשלים, בצבע כחול, את המשבצות החסרות. לשם כך נסתכל עכשיו על העמודות. משבצת 4 היא המשבצת החסרה בעמודה הימנית, ולכן יש לשבץ בה את ההפרש בין הסכום $S$ לתוכן המשבצות 1 ו-7: $S-(S-a-b+c)$, כלומר: $a+b-c$. באותה דרך יש לשבץ במשבצת 6 את ההפרש בין הסכום $S$ לבין תוכן המשבצות 3 ו-9, ולכן נשבץ בה $S-(S-b-c+a)$, כלומר: $b+c-a$. המשבצת החסרה האחרונה היא משבצת 2. אפשר להסתכל עליה כעל ההפרש בין הסכום $S$ לבין תוכן המשבצות 5 ו-8 בעמודה האמצעית. במקרה הזה נקבל $S-(b+S-a-c)$, כלומר: $a+c-b$. קיבלנו ריבוע קסם שבו ביטויים אלגבריים:
רגע, עוד לא סיימנו. בתהליך שעשינו עד כה עבדנו לפי האלכסונים, העמודות והשורה התחתונה. כדי לראות שאכן התקבל ריבוע קסם עלינו לוודא שסכומי הערכים בשורה העליונה והשורה האמצעית הם אכן $S $. אם נסכום את השורה השנייה נקבל שסכומה הוא $3b$ ואם נסכום את השורה העליונה, נקבל שסכומה הוא $2S-3b$. נראה שאם $S=3b$, מתקבל ששתי השורות אכן מסתכמות ב-$S$, והנה קיבלנו ריבוע הקסם.
שימו לב שבאמצעות החישוב האלגברי פיתחנו תנאי שיעזור לנו לקבוע אם אפשר לפתור ריבוע קסם שנתונות לנו בו משבצות ספציפיות וקבוע קסם מבוקש. התנאי הזה הוא תנאי הכרחי ומספיק.
המשמעות של הביטוי "הכרחי ומספיק" היא שאם יש לנו שתי טענות, א' וב', אז שתי הטענות גוררות זו את זו. תנאי הכרחי משמעותו שטענה ב' מתקיימת רק אם טענה א' מתקיימת, ואם טענה א' לא מתקיימת אז טענה ב' לא מתקיימת. זה לא אומר שאם טענה א' מתקיימת אז טענה ב' מתקיימת בהכרח, אלא שאם טענה ב' מתקיימת, טענה א' מתקיימת בהכרח. תנאי מספיק משמעותו שאם טענה א' מתקיימת אז טענה ב' בהכרח מתקיימת, ואם טענה ב' לא מתקיימת אז טענה א' לא מתקיימת גם היא.
זה קצת מבלבל ולכן נחזור לריבועי הקסם. במקרה שלנו טענה א' תהיה התנאי $S=3b$ וטענה ב' היא שריבוע הקסם ניתן להשלמה. בדוגמאות המספריות, שני הריבועים הראשונים מקיימים את טענה א': בריבוע הראשון $b=3$ ו-$S=9$ ובריבוע השני $b=2$ ו-$S=6$, ומתקיים ש- $S=3b$. הריבוע ניתן להשלמה ולכן אפשר להגיד שטענה א' היא תנאי מספיק לטענה ב'. לעומת זאת, בריבוע השלישי $b=4$ ו-$S=8$ ולא הצלחנו להשלים את הריבוע. כלומר, טענה א' לא מתקיימת ולכן טענה ב' אינה מתקיימת, ומכאן שטענה א' היא תנאי הכרחי לטענה ב'.
וכמה מילים לסיכום: האלגברה היא אחד הענפים המרכזיים והמוכרים של המתמטיקה, אבל אולי נראה מוזר לחלקכם שהיא צצה גם כאן. אולם בזה בדיוק טמון כוחה של האלגברה – גם כשנדמה שמקומה נפקד היא יכולה לעזור לנו לפתור בעיות. ויותר מכך, היא מאפשרת לנו להכליל מהן כדי להגיע לתוצאות יפות.
מבוסס על המאמר Symbol Sense: Informal Sense-Making in Formal Mathematics מאת פרופ' אברהם הרכבי.
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
