בעיה בסיסית

פקד אלברט כהן סיכם את ניתוחו המעמיק בפני סגל הפיקוד של המשטרה במילים הבאות, "כל פושע המנהל אימפריה זדונית של מעשים שלא ייעשו, בהיקף ענק ובמשך שנים כה רבות, חייב להקים לעצמו אי שם בסיס שממנו יצא לפעולותיו ויאכסן בו את החומרים והאביזרים הדרושים לתעלוליו. לצערנו, עד כה לא גילינו היכן מצוי בסיסו הסודי של דוקטור לא, אך אנו מבטיחים: מצוא נמצאנו! הכרזנו על פרס בסך מיליון שקל לכל המוסר ידיעה שתביא לגילוי הבסיס. זה סכום גדול, אך ראוי לשלם כל סכום תמורת ניתוץ הבסיס של האדם שמשמש בסיס לפשעים שכאלה!"

התגובה לא איחרה לבוא. בחצות הלילה שמע הפקד רשרוש חשוד ליד דלת הכניסה לדירתו. הוא פתח את הדלת, אך הספיק רק לזהות דמות אדם נעלמת בקרן הרחוב. ליד הדלת נחה חבילה קטנה שהייתה הממוענת אליו. לאחר שהובאה לבדיקה במתקן משטרתי והתברר שאינה ממולכדת, הפקד פתח אותה. בתוכה נמצאה האדרת הבאה:

"פקד נכבד,
אני מתבייש להודות, אך בעברי התדרדרתי והייתי חבר בכנופיתו של ד"ר לא. אני רוצה לכפר על מעשיי, אך ירא מנקמתו של ד"ר לא אם יגלה את זהותי. לכן אני שולח לכם מפה סודית המורה איך להגיע לבסיסו של ד"ר לא. את הפרס שלחו לחשבון חסוי בשוויץ על שם "אל רוטקוד 543211", שהוא כמובן אינו שמי האמיתי".

המפה התוותה שביל מתעקל בין הרים ועמקים בגליל. אך פקד כהן וידידו מתי מתוק צעדו בעקשנות עד שהגיעו לסבך שיחים כמעט בלתי חדיר בנקודה שבה סומן מקומו של הבסיס. מאחר שלא נראה שום בסיס בקרבת מקום אמר הפקד, "זו הייתה מתיחה" ובעט בזעם באחד השיחים. השיח הועף ממקומו ומאחוריו נתגלו מדרגות יורדות לעבר דלת ועליה השלט "בסיסו הסודי של ד"ר לא. אני ממליץ לא להעז להיכנס, בגלל קשיים מסוימים ביציאה מהבסיס".

"אותי ד"ר לא לא יפחיד!" הכריז הפקד, בעט בדלת, וזו נפתחה. השניים נכנסו פנימה למקום החשוך ומיד שמעו קול חבטה עזה מאחוריהם. האורות נדלקו והם מצאו עצמם בחדר ובו שתי דלתות כבדות: זו שננעלה מאחוריהם, והיא חלקה ובלי ידית, ודלת נוספת לפניהם, גם היא חלקה, פרט לפתח קטן כמו זה שמצוי בכל מכונת אוכל ומשקאות ונועד לשלשול מטבעות לתוכו.

ואז נשמע הקול הידוע, "ברוך בואכם ותודה שנעניתם להזמנתי לבקר בבסיסי. שמועה שמעתי כי בכוונתכם לנתץ אותי. אך לשם כך נחוץ ידע בסיסי בבסיסים, ואתם עומדים להיבחן בו, הי הי. שימו לב לסרטוט הבסיס על הקיר מימינכם:

"היציאה יכולה להיעשות רק מדלת היציאה. לשם כך עליכם לעבור דרך שלוש דלתות נוספות והעניין לא כל כך פשוט.
ליד דלת הכניסה לבסיס א' תמצאו סדרה של מגרות ובהן מטבעות מוזהבים. אולם ערך המטבעות אינו על בסיס עשרוני כפי שנהוג בשקלים, אלא על בסיס אחר לגמרי. השקלים הם אמנם שקלים, אך מטבע מסדר ראשון ערכו אינו עשרה שקלים אלא p שקלים, מסדר שני ערככו p2, ומסדר שלישי p3 שקלים. אם, למשל, p=8 אזי ערך המטבעות הוא 8, 64 ו-512 ולא 10, 100 ו-1,000.

"עליכם לברור עתה, לקראת המסע פנימה, מטבעות משלושה סוגים מתוך ארבעה, ואסור שיהיו לכם יותר מתשעה מטבעות מאותו סוג. על המעבר בכל אחת משלוש הדלתות הפנימיות אגבה סכום קבוע שנקרא לוd , והוא קטן מ-12 שקלים.
וכך יתנהל ניסיונכם הנואש להיחלץ מבסיסי הבלתי ניתן להיחלצות: הכניסו, ראשית כל, את התשלום המדויק בשקלים מתוך המטבעות שבחרתם. אם לא תוכלו להרכיב את הסכום זה מהמטבעות שבחרתם, לא תוכלו להיכנס! אחרי שתשמעו צלצול הכניסו את שאר המטבעות. בתגובה תקבלו מטבעות מוכספים המבוססים על בסיס אחר, ,q שערכם פחוּת מערך המוזהבות, וכן שקלים במספר השווה או קטן לשקלים שהכנסתם. אולם הסכום הכולל של הכסופות והשקלים יהיה שווה בערכו לסכום השני שהכנסתם.
ההפתעה היא שמספר הכסופות בכל סדר זהה למספר הזהובות באותו סדר. לדוגמה, נניח שבחרתם שבעה שקלים, שלושה מטבעות זהב מסדר ראשון ושניים זהובים מסדר שני. לאחר תשלום דמי הכניסה d יהיה העודף: 7 שקלים או פחות, שלושה מטבעות כסופים מסדר ראשון ושני כסופים מסדר שני.
לכן, אם הבסיס לכסופים הוא q ולזהובים הוא p, נקבל כי בתחילה היה ערך המטבעות הזהוביםות: p2+3p+2 שקלים, ואילו ערך הכסופים הוא 2q+3q+2 שקלים כאשר ההבדל ביניהם הוא d.
כך בדיוק תחזרו על התהליך בדלת הבאה: ראשית הכניסו d שקלים במטבעות כסופים ואחר כך את השאר, ותקבלו את העודף במטבעות נחושת לפי בסיס r, שערכם יהיה + 2r2+3rשקלים. בדלת השלישית יחזור התהליך והפעם תקבלו מטבעות אלומיניום על בסיס s שערכם יהיה: 22s 3 + s+ שקלים

כלומר: בכל מעבר יפחת ערך הסכום שבידיכם בדיוק ב-d שקלים.

עתה תעמדו לפני דלת היציאה. עליכם להכניס עתה את כל המטבעות שברשותכם לפתח. אם ערכן יהיה שווה למספר שלם של מטבעות מהסדר השלישי, כלומר ערך של s3 , הדלת תיפתח! ולא - תישארו בבסיסי, לעולם ועד, כדי להשתלם בהבנת בסיסים, הי, הי.

אוסיף רק הערות קטנות, ואולי רמזים:

א. הדוגמא שנתתי, של 2 מטבעות מסדר שני, שלוש מסדר ראשון ו-7 שקלים כהתחלה -הייתה רק דוגמא. המספרים הם אחרים!

ב. אל תשכחו: בכל פעם שאתם מקבלים עודף -יהיה אומנם מספר המטבעות המקבילות זהה, אולם מספר השקלים יכול להיות שווה או קטן -לעולם לא גדול יותר מהמספר שהכנסתם לפתח.

רבותי! נדמה לי שעברתי את גבול הנדיבות. מעכשיו - הכדור בידכם, או שמא אומר: המטבעותישנה רק בחירה אחת נכונה של המטבעות ההתחלתיים ושל d. אם תיכשלו בה - אבדתם לעד. אם תפענחו אותה -ניצלתם, עד התעלול הבא".

ובצחוקו המפורסם ננעל הנאום, והותיר את הפקד המום לחלוטין.

"איך נוכל לגלות את מספר המטבעות ואת ערך הבסיסים? הלא בסיס יכול להיות כל מספר, מ- 2 ומעלה! עלינו לנסות כל ארבע בסיסים אפשריים, בכל הרכב מטבעות, ולגלות אם יש פתרון! והלא יש אינסוף אפשרויות!!!"

אולם מתי שם על כתפו יד מרגיעה ואמר: "נכון שישנם אינסוף בסיסים אפשריים, אך במקרה שלנו, מאחר שהתשלום למעבר בדלת הנו פחות מ- 12 שקלים -ישנם רק 4 בסיסים מסוימים שיענו על כך. כמו כן, קל לראות כי אסור לקחת מטבעות מן הסדר השלישי, מאחר ש-d מוגבל. לכן נוכל עד מהרה למצוא את הכמויות ההתחלתיות לכל סוג"

"איך?" תמה הפקד.

כאן -הגיע העת לתשובתכם לפקד הנבוך. וכדי שנלך בסדר סדור הרי לפניכם סדרת שאלות:

1 א) אם יש לנו 4 בסיסים שונים -מהו הערך הקטן ביותר האפשרי לבסיס הגבוה ביותר מבין ה-4 (זכרו: 2 הנו הבסיס הקטן ביותר האפשרי).

ב) מדוע לא יכולה להיות בין המטבעות מטבע מסדר שלישי? (רמז: נניח שישנו מטבע זהוב כזה -חשבו את ערכו בשקלים והשוו לערך המטבע הכסוף המקביל.

לאחר תשובה 1 ערכו הוא לפחות _____ .

אם כך, ערך המטבע הכסוף המקביל לו יהיה לכל היותר _______ .

האם ההפרש מקיים את התנאים לגבי d?

2. נניח שבבחירה ראשונה נכונה יהיו לנו a מטבעות מסדר שני, b מטבעות מסדר ראשון ו-c שקלים, אזי:

יהיה ערך הזהובים ap2 + bp + c

וערך הכסופים aq2+bq+c1

וערך הנחושים ar2+br+c2

וערך מטבעות האלומיניום as2+bs+c3