והנה הם הפתרונות ל"לשון הכפל" שהתפרסם בתחילת השבוע:
ראשית - לחידה הנוספת: אם יש לנו אפשרויות רבות לדקירה ואף על פי כן פתרון חד-משמעי – סימן שנדקור היכן שנדקור התוצאה חייבת להיות זהה. את זאת כמובן צריך להוכיח ונעשה זאת :
חידה א) כאשר מקפלים לוח כפל לאורך האלכסון הראשי ודוקרים משבצת המצויה בשורה x ובטורy - המשבצת השניה הנדקרת היא המשבצת בשורה y ובטור x, והערכים בהן הינם xy -ו yx - שהפרשם 0 בלי תלות באיזה n בחרנו ובאיזו משבצת.
חידה ב) המשבצת הנגדית לx,y- לגבי האלכסון היא (n+1-x),(n+1-y).
הערך 77 יכול להתקבל בלוח משני זוגות בלבד, כשאפשר להחליף את הסדר בתוך הזוגות:1x77, 7x11 . בהצבה עבור הזוג הראשון נקבל עבור המשבצת השניה:
p(n+1-77)(n+1-1) = 32
76n-32=0
ולמשוואה זו אין פתרון במספרים טבעיים. לעומת זאת, בהצבה השניה נקבל:
p(n+1-7)(n+1-11) = 32
(n-6)(n-10)=32
n2 -16n-32=0
n=14
חידה ג) אם נתבונן ממה מורכב הסכום של כל הערכים בלוח הכפל 10x10 ניווכח שהוא
1+2+3+…+10) x (1+2+3+…+10)) ועבור n הוא יהיה Sn2 . סדרת הסכומים Sn שריבועם קטן מ-10000 הינם: 1,3,6,10.15, 21,28, 36, 45,55,66, 78, 91 .נבדוק רק את אלו היוצרים 4 ספרות – כלומר החל מ-36, ונגלה כי היחיד המתאים לדרישה הוא 91 כי 912=8281.
חידה ד) כאשר אנו מקפלים לוח מסדר n ל-4 רבעים ודוקרים את המשבצת x,y יידקרו גם 3 המשבצות הסימטריות לקיפול אורך,רוחב, והאלכסון הלא ראשי. נסו ותיווכחו . לכן נקבל את 4 הערכים xy, x(n+1-y), (n+1-x) y ,(n+1-x)(n+1-y). שימו לב: הסימטריה לגבי האלכסון יכולה להתקבל בשני צעדים: סימטריה לאורך ומשם סימטריה לרוחב, וגם בסדר הפוך!
אם נחבר את כל הערכים נקבל (n+1)2, כלומר : אין זה משנה איזו רביעייה נדקור - התוצאה תהיה זהה! במקרה שלנו 121=112 לכן n=10 ו- 3025= S10 2
לכן המספר שיש להקישו (עבור ארבעת החידות) הינו: 0 14 8281 91 10 3025
מאת: אמנון ז'קוב
