נער החידות מאירודו

מדוע הוא הצליח כנגד כל הסיכויים? על פי צירוף התנאים והנסיבות של חייו לא היינו אמורים כלל לשמוע על סריניוואסה איאנגאר רמנוג'אן (Ramanujan), שנולד ב-22 בדצמבר 1887 למשפחה דלת אמצעים בעיר הענייה אירודו במדינת טאמיל נאדו שבדרום הודו.

מכלול האירועים שהתרחשו בחייו היו די והותר 'תירוצים' לכך שלא יופיע בדפי ההיסטוריה. אך יד הגורל, רצון אמיתי ואהבה למתמטיקה גרמו לדברים לקרות אחרת.

קסם של נער

כבר בגיל צעיר ניכר אצל רמנוג'אן כישרון יוצא דופן בכל הקשור לעולם המספרים. לא פעם הוא הצליח להביך את מוריו לכיתה. למשל, כשהמורה שלו למתמטיקה בבית הספר היסודי הסביר כי חילוק של כל מספר בעצמו יביא לתוצאה 1, שאל רמנוג'אן "אבל אם נחלק אפס בננות לאפס ילדים, אז איך כל ילד יקבל בננה אחת? התוצאה עשויה להיות כל דבר".

לזכותם של מוריו ייאמר שבמקום לראות בדברי רמנוג'אן פגיעה בכבודם הם ידעו לרתום את כישוריו לטובת המערכת . רמנוג'אן הופקד על סידור מערכת השעות של כל בית הספר, תפקיד הידוע כסבוך ודורש תשומת לב לפרטים רבים ושקלול של מכלול הגבלות ודרישות.

רמג'ואן נעזר בחבריו הטובים, המספרים כמובן, והחליף במספרים את שמות השיעורים כדי לבנות את המערכת. כך הוא הצליח לייעל את עבודתו וגם גילה את עולם ריבועי הקסם – טבלאות שבהן סכום המספרים זהה בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים. רמנוג'אן חקר את תחום ריבועי הקסם וכיצד לבנות אותם, וכתב על כך רבות במחברותיו, שהחלק הראשון שלהם עוסק בנושא זה.

קשיי פרנסה

כדי להגדיל מעט את הכנסות המשפחה, שיכנה אמו של רמנוג'אן בביתם שני סטודנטים במכללה. הם נעזרו לא פעם בכשרונו של הנער הצעיר כשנדרשו לפתור בעיות במתמטיקה, וגם עודדו אותו להמשיך להרחיב את אופקיו. הם אפילו שאלו בעבורו מספריית המכללה את הספר "תוצאות יסודיות במתמטיקה טהורה" מאת ג'ורג' קר (Carr), שכלל אלפי נוסחאות מתמטיות. הספר היה כנראה מקור השראה לרמנוג'אן ובמחברותיו מופיעות הוכחות לנוסחאות אלו ותובנות חדשות שאליהן הגיע בעקבות ההוכחות.

בסיום התיכון קיבל רמנוג'אן מלגת הצטיינות ממשלתית והתקבל לכיתת המצטיינים של המכללה הממשלתית לאומנויות. אולם על אף כישרונו המתמטי, ואולי בגללו, סולק רמנוג'אן מהמכללה כעבור שנה אחת בלבד. הוא התעניין אך ורק במתמטיקה, ונכשל במקצועות אחרים בהם אנגלית וסנסקריט.

בשנת 1906, כשהיה בן 19, החליט רמנוג'אן לעזוב את עירו ומשפחתו ולעבור לעיר מדראס, שם החל ללמוד מחדש במכללה מקומית, שוב בכיתה של מלגאים מצטיינים. אולם לאחר שלושה חודשים בלבד נאלץ שוב לעזוב את לימודיו עקב מצב בריאותי ירוד.

בשלב הזה אדם רגיל אולי היה פורש או מוותר אך לא רמנוג'אן. במשך שש שנים תמימות הוא חיפש אחר פטרון אקדמי ומשרה קבועה שתאפשר לו לפרנס את משפחתו. בזמן זה התקיים מהוראת מתמטיקה והחל לפרסם מאמרים ב-Journal of the Indian Mathematical Society. המאמר הראשון שפירסם עסק בשאלת ערכו של הביטוי: 

הוא הציע לשלוח אליו פתרונות ורעיונות כיצד לפתור בעיה זו, אך לאחר חצי שנה, שלא קיבל פתרון מניח את הדעת, החליט להתמודד עם הבעיה בעצמו, והראה שהפתרון שואף ל-3.

הוא המשיך לעסוק במתמטיקה באופן עצמאי ומילא את מחברותיו באינספור תובנות בתחומים מתמטיים שונים. הוא נהג להראות את מחברותיו היקרות לכל מי שהסכים, בתקווה לשכנעם לפרוש עליו את חסותם או להשיג לו משרה שתאפשר לו להמשיך לעסוק במתמטיקה.

במקביל דאגה אמו למצוא לו כלה. באותה תקופה היו נהוגים בהודו נישואי קטינים, והחוק עדיין לא אסר על כך. אמו שידכה אותו לגַ'נָאקִי, בתם בת העשר של חברי המשפחה. הם נישאו ביולי 1909 והחגיגות נמשכו חמישה ימים.

אוצרות של ידע וחוכמה. דפים מתוך מחברותיו המקוריות של רמנוג'אן | נחלת הכלל

הדרך מערבה

ב-1912 התקבל רמנוג'אן לעבוד במשרדי הנהלת חשבונות של רשות הנמלים במדראס ובשנה זו גם הצטרפה משפחתו - אשתו, אמו וסבתו - אליו במדראס.

בתקופה זו רמנוג'אן שמר על קשרים עם כמה אנשי אקדמיה בהודו. אחד מהם הפנה את תשומת ליבו למאמר של פרופסור ידוע מאוניברסיטת קיימברידג', גודפרי הארדי (Hardy), שציין סוגיה מתמטית בתחום הסדרות האין-סופיות שטרם הוגדרה. רמנוג'אן הופתע משום שהוא הצליח להגדיר אותה. הוא ניצל את ההזדמנות לשלוח להארדי את תובנותיו בנושא ובנושאים נוספים בניסיון להרשים את מי שהיה אחד המתמטיקאים הבכירים בבריטניה בזמנו.

הארדי אכן התרשם מעבודתו של רמנוג'אן וראה שמדובר בגאון בעל כישרון רב. עם זאת, עבודתו דרשה ליטוש וכללה הוכחות אינטואיטיביות או מספריות שהיה צריך להתאימן לכתיבה אקדמית, הכוללת הוכחות פורמליות ועובדות מבוססות. הארדי הצליח לסדר שרמנוג'אן יקבל מלגה מאוניברסיטת מדראס להשתלמות באוניברסיטת קיימברידג', ובמרץ 1914 הפליג רמנוג'אן לאנגליה.

קשיי הסתגלות

באנגליה הגיע רמנוג'אן להישגים מרשימים, בעיקר בניתוח תורת המספרים והתפרסם בשל נוסחאות רבות המשתמשות בקבועים מתמטיים כגון פאי, מספרים ראשוניים ופונקציית החלוקה, שזיכו אותו בהערכה רבה ובתהילה. הוא פרסם 21 מאמרים ועוד 11 מאמרים קצרים בכתבי עת מתמטיים. ב-1918 כשהיה בן 30 בלבד נבחר לחברה המלכותית הבריטית ולחבר אקדמיה בטריניטי קולג'.

רמנוג'אן עסק בין היתר במספרים שאפשר לבטא כביטוי של סכום של שלושה ריבועים במבנה הבא: x²+y²+10z² ומצא דפוסים שונים במספרים אלו. ביטוי זה נקרא על שמו "משולש הריבועים של רמנוג'אן". רמנוג'אן אף עסק בתחום של מספרים פריקים והגה את המושג "מספרים פריקים מאוד". אלה מספרים שלמים חיוביים (טבעיים) שלא קיים מספר קטן יותר שמתחלק ביותר גורמים מאשר הם. לדוגמה: המספר 12 הוא מספר כזה מכיוון שהוא הקטן ביותר שמתחלק בששה מספרים שונים (1,2,3,4,6,12). כמובן שגם המספר 1 ייחשב פריק מאוד. הוא אמנם מתחלק רק בעצמו אך מכיוון שאין מתחתיו מספרים שלמים חיוביים, הוא זוכה בכבוד. מספרים פריקים מאוד נוספים הם: 2,4,6,12,36,48,60,120,180,240.

נושא אחר שרמנוג'אן עסק בו הוא פונקציית החלוקה. בפשטות מדובר בפיצולים של מספר שלם למספרים טבעיים (שלמים חיוביים) קטנים יותר, שסכומם שווה למספר השלם.

לדוגמה, את המספר 3 אפשר לייצג בשתי דרכים: 1+1+1=2+1. בסימון המתמטי זה ייכתב: p(3)=2

את המספר 4 אפשר לייצג בארבע דרכים, 1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2, כלומר p(4)=4.

ככל שהמספר גדל, מספר החלוקות גדל מהר מאוד, לדוגמה p(100)= 190,569,292.

מאות שנים מתמטיקאים ניסו למצוא היגיון ודפוסים בחלוקות. רמנוג'אן הבחין שאם מתחילים במספר 9 ומוסיפים לו כפולות של 5, אז כל החלוקות יתחלקו ב-5. לדוגמה אם נרצה לראות בכמה דרכים שונות אפשר לכתוב את המספר 9 נקבל 30 (שמתחלק ב-5). את המספר 14 (9+5) אפשר לכתוב ב-135 דרכים, וגם זו כמובן כפולה של 5. בהמשך אפשר לראות ש-p(9+10)= 490, p(9+15)= 1,575. כלומר כל מספר שהוא בכפולות 5 בתוספת 9 מניב מספר אפשרויות שמתחלק ב-5.

רמנוג'אן שיער שהדפוס הזה ימשיך לנצח, וכי דפוסים דומים קיימים כשמחליפים את 5 ב-7 או 11. שהם שני המספרים הראשוניים הבאים, ומתמטיקאים אחרים הוכיחו מאוחר יותר שאכן נער החידות מאירודו צדק.

רמנוג'אן התקשה להסתגל לחיים באנגליה ולהתרגל למנהגים החברתיים שם, וכן ללבוש המערבי ולמזון הבריטי. אבל הקושי העיקרי שלו היה לעמוד בדרישות המתמטיות הפורמליות המקובלות באקדמיה, דבר שלא הקפיד עליו כשעבד לבדו. הארדי ציוות את חברו ועמיתו ג'ון ליטלווד (Littlewood) להנחות את רמנוג'אן בכתיבה אקדמית. ליטלווד תיאר את המלאכה כלא פשוטה ואף אמר "זה כל כך קשה, כי כל פעם שהייתי צריך ללמד משהו את רמנוג'אן הוא הצליח לצוץ עם רעיונות מתמטיים פנטסטיים וזה פשוט בלתי אפשרי להמשיך בצורה כזו".

ב-1917 הידרדרה שוב בריאותו של רמנוג'אן. הוא חלה בשחפת ובמשך כמעט שנתיים אושפז שוב ושוב. בריאותו נפגעה עוד משום שכאיש הדת הברהמינית הוא הקפיד על תזונה צמחונית, אך הוא התקשה לשמור על תזונה זו באנגליה, בעיקר בתקופת מלחמת העולם הראשונה, נוכח המחסור בפירות וירקות טריים.

התקשה להסתגל. רמנוג'אן (במרכז) עם עמיתיו בקיימברידג' (הרדי ראשון מימין) | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

סוף הדרך

הארדי האמין שאם רמנוג'אן יחזור לתקופה מסוימת להודו לפגוש את משפחתו ולשהות מזג האוויר נוח יותר, ישתפר מצבו הבריאותי. רמנוג'אן הפליג חזרה להודו, בראשית 1919, אחרי כמעט חמש שנים באנגליה, אך לרוע המזל תקוותו של הארדי לא התממשה, והוא הלך לעולמו, ככל הנראה בשל מחלת מעיים, ב-26 באפריל 1920 בגיל 32 בלבד.

הוא זכה להערכה רבה בארצו, ובין השאר נקבע כי יום המתמטיקה הלאומי בהודו יחול ביום הולדתו, 22 בדצמבר. כמו כן מוענקים על שמו מלגות ופרסים לסטודנטים ולחוקרים מצטיינים

רמנוג'אן הותיר אחריו את מחברותיו המפורסמות שהכילו מאות עמודים של חומר לא מסודר, בלשון המעטה, אך בעל ערך רב. הארדי ואחרים לקחו על עצמם את המשימה לערוך את המחברות, ופרסמו את עבודתו. עם זאת, העריכה מדעית המלאה של החומר, כולל הוספת הוכחות סדורות נמשכה שנים רבות. בסופו של דבר המחברות המלאות יצאו לאור בחמישה כרכים בשנים 1997-1985, בעזרתם של כמה חוקרים מקיימברידג' בראשות ג'ורג' אנדרוז (Andrews).

מחברותיו של רמנוג'אן תרמו רבות לכמה וכמה תחומים במתמטיקה, ובזכות עבודתו נעשתה התקדמות של ממש בתחום של תורת ההסתברות בשם התפלגות היפרגאומטרית.

רמנוג'אן חי את עולם המספרים כל הזמן. אנקדוטה מפורסמת מספרת כי באחד מאשפוזיו בא הארדי לבקרו בבית החולים, סיפר לו כי בא במונית שמספרה 1729, והעיר שזה מספר משעמם. רמנוג'אן אמר בתגובה שזה מספר יוצא דופן, משום שהוא המספר השלם הקטן ביותר ששאפשר לבטא כסכום של שתי חזקות שלוש, בשני אופנים שונים: 9³+10³=1³+12³=1729. 

בעקבות זאת, המספר 1729 מכונה בקרב מתמטיקאים "מספר הארדי-רמנוג'אן". לימים, כשנשאל הארדי מה הייתה תרומתו החשובה ביותר למתמטיקה, ענה ללא היסוס "גילויו של רמנוג'אן". 

סיפורו המופלא של רמנוג'אן מגולל בספר הביוגרפי 'האיש שידע אינסוף' שפרסם העיתונאי האמריקאי רוברט קניגל (kanigel) ב-1991. לפני כשלוש שנים עובד הספר לסרט קולנוע באותו שם.