עלינו לבחור שישיית זמנים כזו שלא משנה כיצד תתחלק ביננו, הרי אין איש יודע באיזו משש הנקודות במשולש הוא נמצא – ואף על פי כן לעולם לא תהיה התנגשות".
ונשאלת השאלה: מהם הזמנים שנבחרו וכיצד פתר זאת מתי?
שאלות ומעט תדרוך:
העזרו בשאלות הבאות:
א) בכמה מכוניות יכולה כל מכונית להתנגש?
ב) בכמה אפשרויות שונות ניתן להציב את המכוניות ב-6 הנקודות?
ג) התבוננו תחילה רק ב-3 המכוניות הנוסעות על היקף המשולש. מהו התנאי שיבטיח כי לעולם לא יתנגשו ביניהן?
ד) בדקו את התנאי לפיו הן לא תתנגשנה ב-3 המכוניות הנוסעות על התיכונים.
ה) ועתה לשאלה: מהו התנאי ששלושת המכוניות הנוסעות על התיכונים לא תתנגשנה אחת בשנייה? זכרו: נקודת מפגש האלכסונים מחלקת אותם לשליש ושני שלישים.
ו) כל התנאים שמצאתם קובעים יחדיו אילו יחסי זמנים יגרמו לתאונה ואלה לא.
ז) כדי להקל על ניסוח הפתרון - הרי ההערות הבאות:
כל מספר הינו או 0 או 1 או 2 מודולו 3, או בניסוח אחר: כל מספר הינו אחד מ-3 הטיפוסים:
3n ,3n+1, 3n+2.
כל מספר המתחלק ל-3 יש בו גורם של חזקה של 3 ואם אינו חזקה של 3 - אז יש בו גורם מהטיפוס 3n+1 או 3n+2 , ולכן כל מספר המתחלק ל-3 שייך לאחד מ-3 הטיפוסים הבאים:
3m , 3m (3n+1) , 3m (3n+2)
פתרונות:
א) כל מכונית יכולה להתנגש בכל אחת משאר 5 המכוניות
ב) !6=720
ג) התנגשות בין המכוניות הנוסעות על ההיקף לבין עצמן יכולה להתרחש רק כשאחת המכוניות נסעה מספר זוגי של קטעים וחזרה לנקודת המוצא והשניה נסעה מספר איזוגי של קטעים. לכן יחס הזמנים של כל שתי מכוניות חייב להיות , לאחר צמצום, אי-זוגי מחולק באי-זוגי.
לדוגמה: לו היה היחס 7 ל-8, הרי שלאחר 7 קטעים של 8 הוא היה מתנגש ב-7 שהשלים 8 קטעים. לכן, לשם פשטות, נבחר רק זמנים אי זוגיים, ומאחר שאין אנו יודעים מי הן המכוניות שנוסעות בהיקף – בחירה זו תקפה לגבי כולן!
ד) בחירה זו מבטיחה גם שלא תהא התנגשות בין מכונית היקף ומכונית תיכון, כי לנקודת אמצע הצלע מגיעה מכונית התיכון לאחר מספר שלם של קטעים ולכן אחרי מספר שלם של דקות, ואילו מכונית ההיקף מגיעה לאחר מספר לא שלם כי מאחר שבחרנו זמנים אי-זוגיים למעבר כל קטע– אזי זמן מחצית קטע יהיה מספר לא שלם.
ה) ועתה נחשב לגבי מכוניות התיכונים. הן יכולות להתנגש ביניהן אך ורק בנקודת מפגש התיכונים. נבחר מכונית מסוימת שזמן השלמת הקטע שלה הוא a. היא תמצא במפגש האלכסונים O בתום מספר אי-זוגי של קטעים ועוד שליש קטע, או בתום מספר זוגי של קטעים ועוד שני שליש קטע, כלומר: או לאחר a(2x+1+1/3) דקות, או לאחר a(2x+2/3) דקות.
באופן דומה – לגבי מכונית אחרת שזמנה b. כדי שיתנגשו - הזמנים צריכים להיות שווים.
ישנן 3 אפשרויות: או ששתיהן לאחר מספר אי זוגי ועוד שליש קטעים, או ששתיהן לאחר מספר זוגי ועוד שני שליש, או שאחת היא המקרה הראשון והשניה המקרה השני.
נכתוב את המשוואה לאפשרות הראשונה:
(a(2x+ 4/3)=b(2y+ 4/3
נכפול את שני האגפים ב - 3/2 ונקבל כי להתנגשות צריך להתקיים:
a(3x+2)=b(3y+2).
בדרך דומה נקבל את האפשרויות הנוספות:
a(3x+1)=b(3y+1)
(a(3x+1)=b( 3y+2
כדי להמנע מהתנגשות - אסור ששוויון כלשהו מתוכם יתקיים עבור כל x,y.
איך נבטיח זאת באופן הפשוט ביותר?
הביטויים בסוגריים אינם מתחלקים ב-3, לכן אם נבחר עבור ששת הזמנים שש חזקות שונות של 3 – לא יתכן השוויון, ו-6 החזקות של 3, מ-0 ועד 5 הם הזמנים:1,3,9,27,81,243 . כל בחירה אחרת תביא לזמנים ארוכים יותר שלא יסתפקו ב-250
