שלום לכם, 

בחידתנו הפעם שאנשים: חוני ומוני. חוני עומד במרכזו של עיגול ומוני נמצא מחוץ לעיגול. מטרתו של חוני היא לצאת מהעיגול ומטרתו של מוני למנוע ממנו לצאת.

רדיוס העיגול: 100 מטר.

כללי המשחק

בכל צעד חוני יכול לבחור כיוון שאליו ירצה לעשות את הצעד הבא. אבל אחרי שהכיוון נבחר, מוני יכול לקבוע  אם הצעד ייעשה לכיוון שבחר חוני או שמא לכיוון ההפוך בדיוק (180 מעלות אחורה).

אורך כל צעד הוא מטר.

והשאלה

מהי הדרך שחוני צריך לפעול בה כדי לצאת מהעיגול, וכמה צעדים יידרשו לו כדי לצאת מהעיגול בדרך זו?

 

 שבוע טוב,

סקובידו

 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

31 תגובות

  • עטרה

    חידת המשך 5

    1) נניח שהופכים את כללי המשחק המקורי, כך שבכל שלב, מוני בוחר את כיוון הצעד הבא, ואחרי שהכיוון נבחר, חוני יכול לקבוע אם הצעד יהיה לכיוון שנבחר או לכיוון הנגדי לו.
    מה המספר המינימלי של צעדים, שדרושים לחוני בשביל לצאת מהעיגול?

    2) נניח שהופכים שוב את כללי המשחק. כעת חוני רוצה להישאר בעיגול כמה שיותר, ומוני רוצה להוציא אותו מהעיגול. מה המספר המקסימלי של צעדים, שחוני יכול לבצע בתוך העיגול?

  • רמי

    תשובות לחידת המשך 5

    1) כמו בשאלה המקורית. 10001 צעדים
    2) 10000 צעדים

  • עטרה

  • עטרה

    חידת המשך 4

    נניח שחוני נמצא באחד מהקודקודים של משושים של כוורת, שכל אחד מהקטעים שלה הוא באורך 1. בכל צעד, כאשר חוני בוחר כיוון, הכיוון הנגדי לו אינו קיים, ולכן מוני אינו יכול להשפיע על המהלכים של חוני.
    מה המספר המינימלי של צעדים שדרושים, בשביל לצאת מעיגול בעל רדיוס 100, שמרכזו בנקודת המוצא?

  • רמי

    תשובה לחידת המשך 4

    116 = 1+(0.5^3/ 200 )floor

  • עטרה

  • עטרה

    עוד חידה

    עבור אילו ערכים של רדיוס המעגל (מלבד 0, 1), אין צורך להשתמש בפונקציה floor?

  • עטרה

    חידת המשך 3

    נקבע את הצעד הראשון באופן שרירותי. אז נשארו 10000 צעדים נוספים.
    נניח שבכל אחד מהם חוני עושה צעד בכיוון מאונך לרדיוס העובר באותה נקודה.
    בכל שלב מוני יכול לבחור בין שתי אפשרויות של כיוונים, לכן יכולים להיווצר 10000 ^ 2 מסלולים שונים.
    באיזה מסלול מספר ההקפות סביב מרכז המעגל הוא מקסימלי?
    מה מספר ההקפות במסלול הזה?
    מה היחס בין האינדקס של הקפה כלשהי ובין מספר הצלעות השייכות לאותה הקפה?
    מה המרחק בין כל שתי הקפות סמוכות?

  • רמי

    תשובות לחידת המשך 3

    1. שאלה : באיזה מסלול מספר ההקפות סביב מרכז המעגל הוא מכסימלי?
    1. תשובה : המסלול ששומר כל הזמן על אותו הכיוון. מסלול עם כיוון השעון ומסלול נגד כיוון השעון.

    2. מה מספר ההקפות במסלול הזה?
    2. 31.5 הקפות לערך עד יציאה מהעיגול

    3. מה היחס בין האינדקס של הקפה כלשהי ובין מספר הצלעות השייכות לאותה הקפה?
    3. 0.051 לערך

    4. מה המרחק בין כל שתי הקפות סמוכות?
    4. Π לערך

  • עטרה

    נכון מאוד. יש לי עוד חידה, אבל אני לא יודעת את התשובה

    האם המרחק בין כל שתי הקפות סמוכות שואף באינסוף לערך המדויק של Π? למה מתקבל דווקא ערך זה?

  • רמי

    מרחק בין הקפות

    אני משער כי הצורה בה אנו דנים היא למעשה ספירלה בדידה שמתכנסת לספירלת ארכימדס פרטית שנוסחתה r(β)=π*β (בקואורדינטות קוטביות).
    בספירלת ארכימדס זו, המרחק בין ההקפות קבוע ושווה ל π.
    צריך להוכיח כי נקודות הקיצון של הספירלה הבדידה שלנו נמצאות על הספירלה הנ"ל :
    לכל n טבעי, קיימת זוית β כך ש β= sqrt(n)/ π ומתקיים r(β)=sqrt(n)
    צריך להראות כי זוית β מתאימה לזויות בגירסת הקואורדינטות הקרטזיות.
    וגם להוכיח את היחידות.

    הערה: בבדיקה עם המחשב, עבור 10^10 צעדים, המרחק בין ההקפות מתכנס ל π.

  • עטרה

    שאלה

    איפה מצאת את ספירלת ארכימדס הזאת?

  • עטרה

    הערה

    מתקיים β = sqrt(n)*2, ולא β = sqrt(n)/π.
    הסבר:
    הזווית של הקפה מלאה של הספירלה היא 2*π ראדיאנים (360 מעלות).
    לכן, אחרי C הקפות של הספירלה, הזווית היא β = 2*π*C.
    המרחק בין כל שתי הקפות סמוכות הוא קבוע, ושווה ל π.
    לכן, אחרי C הקפות של הספירלה, המרחק הוא r = π*C.
    לכן, מתקיים β = 2*r = sqrt(n)*2.

  • עטרה

    תיקון לטעות שלי

    נוסחת הספירלה היא r(β)=β/2+1, ולא r(β)=β/2.

  • רמי

    תודה על התיקון

    אכן את צודקת.
    ספירלת ארכימדס המתאימה לספירלה הבדידה שלנו נוסחתה r(β)=β/2 (בקואורדינטות קוטביות).
    כעת נשאר להוכיח שההשערה נכונה עבור נוסחה זו.
    ההשערה המתוקנת:
    הצורה הספיראלית הבדידה בה אנו דנים (תנועה באותו הכיוון ליציאה מהמעגל ואל האינסוף) מתכנסת לספירלת ארכימדס שנוסחתה r(β)=β/2 (בקואורדינטות קוטביות).

  • עטרה

    ההשערה נכונה

    לפי ויקיפדיה, הספירלה של Theodorus מתכנסת לספירלת ארכימדס.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_of_Theodorus

  • רמי

    מרשים!

    שמחתי לשער כגדולים ממני.
    מדהים כמה שהבעיות של "לצאת מהעיגול" טופלו כבר לפני אלפי שנים.
    תודה על הקישור ל "Spiral of Theodorus".

  • עטרה

    כיוונת לדעת גדולים

    מה הרקע שלך במתימטיקה? אתה סטודנט?

  • רמי

    חידת המשך 2

    מיצאו צורה סופית (*), ונקודת התחלה עליה, שממנה, על פי חוקי המשחק, חוני לא יוכל לצאת לעולם.

    (*) צורה הניתנת לחסימה ושאינה אינסופית.

  • עטרה

    לא מצאתי

    איזו צורה מצאת?

  • רמי

    רמז

    כדי לא לצאת מהעיגול צריך לחשוב מחוץ לקופסא/למשטח !!

  • עטרה

    כמה תשובות

    א) נניח שהעיגול (דו-ממדי) מצוייר על גליל (תלת-ממדי), כך שההיקף של הגליל קטן בהרבה מהקוטר של העיגול. במקרה כזה, קצה אחד של העיגול מתלכד עם הקצה הנגדי לו.
    אם חוני בחר שכיוון הצעד לא יהיה מאונך לרדיוס שעובר בנקודת המוצא של הצעד, אז מוני יקבע לו לנוע בכיוון שמקרב אותו אל המרכז.
    אם חוני בחר שכיוון הצעד כן יהיה מאונך לרדיוס שעובר בנקודת המוצא של הצעד, אז מוני יקבע לו לנוע בכיוון שמקרב אותו אל השטח, שבו שני המעגלים מתלכדים.
    ב) תוצאה דומה מתקבלת אם העיגול מצוייר על טורוס, שלפחות אחד מהרדיוסים שלו קטן בהרבה מהקוטר של העיגול.

    ג) המונח "עיגול" מציין את המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור, שמרחקן מהמרכז קטן או שווה לאורך הרדיוס. אם העיגול מצוייר על קו ישר, אז מתקבל עיגול מנוון, כלומר קטע, שאורכו כפול מאורך הרדיוס.
    על קטע יש רק שני כיוונים אפשריים. מוני יבחר את כיווני התנועה לסירוגין. המרחק המקסימלי שחוני יכול להגיע אליו הוא 1, ולכן הוא לא יצליח לצאת מהעיגול.

    ד) נניח שהעיגול מצוייר על הרשת, שמכילה כל נקודה במישור, שלפחות אחת מהקואורדינטות שלה היא מספר שלם.
    אם מגדירים צעד חוקי בתור צעד שכולו מוכל בקבוצה, אז יש רק שני כיוונים חוקיים של צעדים: במקביל לציר ה-x, ובמקביל לציר ה-y.
    גם אם מגדירים צעד חוקי בתור צעד שקצותיו מוכלים בקבוצה, אז רק כיוונים אלו הם חוקיים, כי בכל כיוון אחר, המרחק בין כל שתי נקודות גדול מאורך הצעד המותר.
    לכן, חוני יכול לבחור בין כיוון אופקי וכיוון אנכי, ואחרי שבחר, מוני יכול לבחור בין ימינה/שמאלה או בין למעלה/למטה.
    המרחק המקסימלי שחוני יכול להגיע אליו הוא שורש 2, ולכן הוא לא יצליח לצאת מהעיגול.

    ה) באופן דומה, אם העיגול מצוייר על קבוצת נקודות השריג במישור (נקודות בעלות קואורדינטות שלמות), אז יש רק שני כיוונים של צעדים: במקביל לציר ה-x, ובמקביל לציר ה-y.
    גם במקרה זה, המרחק המקסימלי שחוני יכול להגיע אליו הוא שורש 2, ולכן הוא לא יצליח לצאת מהעיגול.
    ו) תוצאה דומה מתקבלת אם העיגול מצוייר על הקבוצה {x,y|x=a+b/2,y=b*sqrt(3)/2} כאשר a,b שלמים. (קל להבין מה הקבוצה אם מציירים אותה.)
    במקרה זה, מוני יכול לבחור בין 3 כיוונים, ולכן, מכל נקודה יש 6 צעדים אפשריים.
    המרחק המקסימלי שחוני יכול להגיע אליו הוא 2, ולכן הוא לא יצליח לצאת מהעיגול.

    ז) נניח שהעיגול מצוייר על קבוצה שאינה קשירה, כך שלא קיים מסלול של צעדים חוקיים ממרכז העיגול אל מחוץ לעיגול.
    למשל, בקבוצת נקודות, שהמרחקים ביניהן גדולים מ 1, לא קיים אף צעד חוקי, ולכן לא קיים מסלול חוקי ממרכז העיגול אל מחוץ לעיגול.
    במקרה זה, גם ללא ההפרעה של מוני, חוני לא יצליח לצאת מהעיגול.

  • רמי

    רעיונותיך מעולים.

    אני חשבתי על רעיון אחר : חצי כדור שרדיוסו a >=1 ) . a )
    על קודקוד חצי כדור, שיושב על הקו המשווה שלו, עומד מר חני.
    פניה בניצב לקו מחני לקודקוד מפנה את חני במקביל לקו המשווה, מכל זוית אחרת, חני יופנה (אם צריך) ע"י מני בכיוון נגדי לכיוון התנועה אל קו המשווה.

  • עטרה

    תודה

    גם הרעיון שלך מעולה.

  • רמי

    חידת המשך

    הגדרות :
    זוית למרכז - הזוית שבה נע חוני ביחס לקו ישר ממקום עומדו, אל מרכז העיגול.
    זוית למרכז קבועה - זווית למרכז שבה משתמש חוני לאחר כל צעד (ולא משנה אותה עד היציאה מהעיגול).

    אם חוני בוחר זוית למרכז קבועה,
    באיזה תחום זויות למרכז קבועות ינוע חוני לנצח ולא יוכל לצאת מהעיגול?
    באיזה תחום זויות למרכז קבועות ינוע חוני ויוכל לצאת מהעיגול?

  • עטרה

    התחום הוא בין 89.714° ו 90.286°

    בכל שלב מבצעים צעד באורך מטר אחד, שכיוונו הוא בזווית קבועה ביחס לכיוון הרדיוס העובר בנקודת המוצא של אותו צעד.
    אם מוני לא היה משתתף במשחק, אז עבור זווית ישרה או קהה, אפשר להגיע למרחק גדול כרצוננו, ולכן אפשר לצאת מהמעגל. עבור זווית קבועה חדה, אם היא גדולה מהזווית ארק-קוסינוס 0.5/100, אז אחרי מספר רב של צעדים, מגיעים למרחק 100 מהמרכז ועוברים אותו, ולכן אפשר לצאת מהמעגל. אם הזווית הקבועה שווה ארק-קוסינוס 0.5/100, אז המרחק ממרכז המעגל שואף ל 100, אבל לא מגיע אליו, ולכן אי אפשר לצאת מהמעגל. אם הזווית הקבועה קטנה מהזווית ארק-קוסינוס 0.5/100, אז המרחק ממרכז המעגל קטן מ 100, ולכן אי אפשר לצאת מהמעגל.
    בגלל שמוני משתתף במשחק, הוא יכול להפוך את כיוון התנועה. אם הזווית הקבועה שייכת לתחום שבין 89.714° ו 90.286°, אז גם במקרה שבו מוני הופך את כיוון התנועה, עדיין הזווית ביחס לכיוון הרדיוס שייכת לתחום שבין 89.714° ו 90.286°, ולכן היא גדולה מהזווית ארק-קוסינוס 0.5/100, ולכן אפשר לצאת מהמעגל. אם הזווית הקבועה אינה שייכת לתחום זה, אז מוני יבחר כיוון שבו הזווית היא קטנה או שווה לזווית ארק-קוסינוס 0.5/100, ולכן יהיה אי אפשר לצאת מהמעגל.

  • רמי

    יפה מאוד! תשובה נכונה.

    אני דיייקתי לערך 89.7135199

  • רמי

    תשובה

    הדרך : צעידה במאונך לקו למרכז.
    מספר צעדים : 10001 צעדים ליציאה מהעיגול.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    יפה מאד!!!

    כפי שכתבת, הבחירה היא כל פעם בניצב לקו המחבר בין המקום הנוכחי למרכז העיגול. ולכן המרחק ממרכז העיגול: אחרי צעד אחד- 1 (צעד מטר לכיוון כלשהו) אחרי 2 צעדים- שורש 2 (לפי משפט פיתגורס: שורש של 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע) אחרי 3 צעדים- שורש 3 (לפי משפט פיתגורס: שורש של שורש 2 בריבוע ועוד 1 בריבוע) .... כלומר בצעד n המרחק ממרכז העיגול יהיה שורש n. וכדי לצאת מהמעגל צריך 10,001 צעדים (100 בריבוע + 1)

  • רמי

    מהם כללי הצעידה של מוני?

    האם הוא עומד במקומו?
    האם גם הוא נע צעד אחד בכל פעם, או יותר?
    האם הוא יכול להכנס לעיגול?
    האם הוא נע יחד או אחרי חוני (מבחינה מתמטית)?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    מוני עומד במקומו

    ומנסה למנוע מחוני לצאת מהעיגול באמצעות קביעת כיוון הצעד.