בבלוג 75 תהינו מהם מספרים "מיוחדים" ואם 3 ו-9 ראויים לתואר רק כיוון שאם סכום ספרותיו של מספר מתחלק בהם סימן שהמספר כולו מתחלק בהם. הראינו שעבור בסיסים שאינם עשרוניים החוק לפעמים אינו תקף, והרי חוק מתמטי שאינו תקף תמיד אינו חוק. במקרה כזה יש להחליפו בחוק בעל תוקף תמידי, פן תהפוך המתמטיקה למערב הפרוע ואז אנה אנו באים?
מהו אותו חוק תקף? ומדוע 3 ו-9 מתנהגים לעומתו כילדים מפונקים, לפי מצב הרוח? האמנם "מצברוח"?
ובכן: אם ייחסנו להם מיוחדות שאינה מגיעה להם, האשמה אינה בהם אלא בנו. כי אם הם קבוצה מיוחדת, אפשר להראות שכל קבוצת מספרים שתעלו בדמיונכם הפרוע, גם היא קבוצה מיוחדת.
לדוגמה, כדי לא להסתבך במספרים גדולים, נבחר בקבוצה 3 ו-5, ובמספר 87. סכומו 15, ולכן אם 3 ו-5 מיוחדים כמו 3 ו-9, 87 חייב להתחלק בהם. ואכן, חרף כל מחאותיכם, הוא אכן מתחלק... בבסיס 16. רוצים הוכחה? 87=8*16+7=135, ו-135 אכן מתחלק ל-3 ול-5.
דוגמה נוספת: 69=6*16+9=105 – ושוב, המספר מתחלק ב-3 וב-5.
אם כך, 3 ו-9 אינם "מיוחדים", וגם 10 אינו מיוחד בגללם.
אך אל תצטערו, אני יודע שלא קל לוותר על חלום המיוחדות הנובע מבחירת בסיס 10, ולכן הנה לכם דוגמאות מקסימות המדגימות ש-10 הוא בכל זאת בסיס מיוחד.
איפה עוד תמצאו סימטריה שכזו? בבסיסים אחרים?
בדקו – ותופתעו. נסו להסביר. ואם תתקשו, בלוג 77 יפתור את קושייתכם... אך אולי יציב בפניכם קושיות חדשות.
אמנון זקוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.
