בבלוגריתמוס 7 הכנסנו שינוי קטן בתנאי החידה: עשרה אנשים מצהירים כי "כל שאר התשעה הם גוגלים", אך השלישי מוסיף, "מלבדי". בלי התוספת הזו ראינו שיש 12 פתרונות של דובר אמת יחיד, וכן שני הפתרונות "כולם דוברי אמת" ו"כולם דוברי שקר".האם התוספת "מלבדי" של הדובר השלישי תשנה את הפתרונות?
ננתח את המצב בדרך שבה נקטנו בבלוגריתמוסים הקודמים: נבדוק מה קורה בהנחה ש"גוגלים" הם דוברי שקר ובהנחה שהם דוברי אמת. כך אנו מכסים את כל האפשרויות. זו גישה שניתן להכלילה לבעיות שונות ומורכבות: ראשית מנתחים מהן כל האפשרויות, ואחר כך בודקים מה קורה בכל אפשרות בנפרד. כאשר יש לנו מספר אפשרויות סופי, הדרך הזו יעילה, אך כאשר המספר אינו סופי עלינו לנסות לאגד את האפשרויות למספר סופי של קבוצות של אפשרויות "דומות", אם זה אפשרי.
נחזור לבעייתנו: נניח שהגוגלים שקרנים. אם השלישי דובר אמת אזי הוא היחיד וכל השאר שקרנים שטוענים שכל השאר שקרנים – וזה שקר, כי השלישי דובר אמת.
אם השלישי שקרן הרי המשפט שהוא אומר, שמשמעותו "כל שאר התשעה הם שקרנים מלבדי" , הוא שקר – כי לא משנה בכלל מיהם התשעה, הוא טוען שהוא דובר אמת. בזאת אנו מאשרים שאין סתירה בין ההנחות שהשלישי שקרן ושהגוגלים שקרנים. אך המסקנה היא שחייב להיות דובר אמת אחר, שאינו השלישי, אחרת אם כולם שקרנים אזי כל שאר התשעה מלבד השלישי אומרים אמת כשהם טוענים שכל השאר דוברי שקר! כמו כן, לא ייתכנו שני דוברי אמת – כי הם יאשימו זה את זה בשקר.
התוצאה המעט מפתיעה היא שכאשר ה"גוגלים" שקרנים – התוספת "מלבדי" אינה משנה דבר ונשארות לנו עשר האפשרויות של דובר אמת יחיד.
מה קורה אם ה"גוגלים" הם דוברי אמת?
נניח שהשלישי דובר אמת. במקרה כזה הוא אומר, "כל השאר דוברי אמת מלבדי", ולכן לא משנה מיהם השאר, הוא טוען שהוא עצמו שקרן! הקביעה הזאת היא סתירה ולכן הוא אינו יכול להיות דובר אמת ויש לנו שקרן. ולכן גם כל השאר שקרנים, כי הם טוענים שכולם דוברי אמת.
מסקנה: השינוי היחיד שהביאה התוספת "מלבדי" היא שאין אפשרות שכולם יהיו דוברי אמת, כך שנותרנו עם 11 אפשרויות.
ולקראת הבלוגריתמוס הבא חישבו מה קורה:
א) כשכולם מוסיפים את המילה "מלבדי".
ב) כשכולם אומרים, "יש בין שאר התשעה מוגל גוגלים", כאשר מוגל הוא מספר שלם מסוים אך איננו יודעים מהו.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
