בבלוגריתמוסים הקודמים עסקנו ביצירת מספרים הבנויים מעשר הספרות ומתחלקים בהן. האסטרטגיה היתה חיפוש של מקטעים רצופים בעשר הספרות שמקיימים את הדרישות.
מהות האסטרטגיה היא לנסות לחלק בעיה גדולה וסבוכה לכמה בעיות קטנות ופשוטות יותר. התבקשתם לחפש מספרים עם עשר הספרות שיתחלקו ב-13 וכן כאלה שיתחלקו ב-17.
מהר מאוד ניווכח שהמשימה לא פשוטה. אם ננסה למצוא מספרים דו-ספרתיים שמתחלקים ב-13, נקבל את 13, 26, 39, 52, 65, 78 ו-91. נגלה שאפשר להשתמש רק בשלושה זוגות בלי לחזור על ספרה. אפשר להוסיף להן רק את ה-0: בסך הכול שבע ספרות.
לכן ברור שעלינו לחפש מקטעים גדולים יותר. ואכן אפשר להרכיב מספר מהשלשות 143, 286 ו-975 באחד מששת הסדרים האפשריים ביניהן ולהכניס את ה-0 באחד משלושת המרווחים ביניהם – וכך נקבל 18 פתרונות. לדוגמה 2,860,143,975.
בצורה דומה אפשר לחפש מספר עבור 17, כלומר לבדוק בין כל הצירופים האפשריים הרבים מאוד של מקטעים מי מהם מתחלקים ב-17.
אני רוצה להציע רעיון אחר כיצד להרכיב עשירייה כזאת ממקטעים המתחלקים במספר שנקבע, במיוחד עבור מספרים שאינם גדולים בהרבה מ-10.
המספר יורכב מחמישה מספרים בני חמש ספרות בצורה מיוחדת. ראשית נדגים זאת על 13: אנו מחפשים את המספרים הקרובים ביותר שגדולים יותר מכפולות של 10,000 בלא יותר מ-10, שמכילים יחדיו את מרב הספרות ומתחלקים ב-13. נקבל: 10,010, 20,007, 30,004, 40,001 ן-60,008.
עד עתה הופיעו הספרות כולן מלבד 5 ו-9 , אולם 1 הופיעה שלוש פעמים ו-4 הופיעה פעמיים. נשלים את הפתרון באופן הבא: כדי לקבל 5 ולהיפטר מעודפי 1 – נכפול את 10,010 ב-5 ונקבל 50,050.
יש לנו 4 ו-5 עודפים ונקבל ומהם נקבל את ה-9 החסר על ידי החיבור הבא
50050
20007
30004
40001
60008
0
-----------------
5239674180
מובן שעל ידי סדר אחר, כשה-5 וה-4 יהיו עדיין באותו טור ויסתכמו ב-9 נקבל פתרונות נוספים.
המעלה של השיטה היא שהיא אינה צריכה לבדוק את כל צירופי המקטעים אלא עוסקת לכל היותר בתשעה מספרים שאפשר "להחליק" אותם זה על גבי זה, כי הם מכילים אפסים. צריך רק לתמרן מעט כדי להשיג את התוצאה. כמובן, אם המספר המחלק גדול – הסיכוי לאפסים קטן יותר וההתאמות קשות יותר.
לגבי 17, נראה בקצרה את ההתאמה, לא לפני שנדלג על שלב האלימינציה של חלק מהמספרים. נקבל: 20,009, 30,005 ו-40001. חסרים לנו 6, 7, ו-8 ונקבל אותם בעזרת המספר 867 המתחלק ב-17
הפעם השתמשנו בעירוב שיטות, שמאפשר גמישות גדולה בפתרון.
20009
30005 +
40001
867
---------------
2340951867
ולסיום – חידה: האם לדעתכם אפשר למצוא מספר שניתן לכתוב כך שכל ספרה יכולה להופיע פעמיים, ויתחלק בכל מספר עד 100?
ואם נוכל להשתמש בשלוש ספרות?
על כך, בבלוגריתמוס 4.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
