בבלוגריתמוס 3 הצבתי שאלה: האם אפשר למצוא מספר שבו כל ספרה מעשר הספרות מופיעה פעמיים לכל היותר, כך שיתחלק בכל המספרים שבין 2 ל-99? ומה אם נתיר שלוש חזרות?
כדי להתמודד עם הבעיה שנראית מסובכת להפליא, נבהיר ראשית במה כרוכה הדרישה הזאת. כדי שהתנאי יתקיים, רבים יענו שהמספר צריך להתחלק בכל המספרים הראשוניים המופיעים בין 2 ל-99.
אולם יש לדייק: ארבעת הראשוניים הראשונים: 2, 3, 5 ו-7, מופיעים גם בחזקות, כך שכדי להבטיח את ההתחלקות יש לקחת בחשבון את חזקותיהם הגבוהות ביותר.
כך נקבל 25 מספרים:11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89 ו-97. כל המספרים גדולים מ-10, ולכן מכפלתם גדולה מ-10 בחזקת 25, כלומר דרוש מספר שמכיל לפחות 26 ספרות! אי אפשר לכתוב אותו בעזרת 20 ספרות!
אך מה המצב לגבי שלוש פעמים כל ספרה, כלומר עד 30 ספרות?
אנו יכולים כמובן להסתבך ולחשב את מכפלת 25 המספרים, אך למטרתנו די בהערכה מקוצרת: אם נתבונן במכפלות הזוגות המנוגדים 11x97 ,13x89 ,17x83 וכו' – ניווכח שכל המכפלות גדולות יותר מאלף, כלומר יותר מ-103, כשהחל מהזוג השישי תוצאת המכפלה של שבעת הזוגות נהנותרים גבוהה יותר מ-2,000, והמספר 53 נותר בלי בן זוג. כלומר, מכפלת 25 המספרים גדולה מ-1,000 בחזקת 5 כפול 2,000 בחזקת 7 כפול 53.
2 בחזקת 7 כפול 53 = 6,784.
נקבל שהתוצאה גדולה מ-6 כפול 10 בחזקת 39, ואם נביא בחשבון את העובדה שכל ההערכות מוקטנות, נעלה שהמכפלה גדולה גם מ-10 בחזקת 40. כלומר: גם אם נשתמש בכל ספרה ארבע פעמים, לא נוכל למצוא מספר בן 41 ספרות שמתחלק בכל המספרים 99-2.
שימו לב! בכל ההוכחה לא השתמשנו בשיקולי התחלקות, אלא אך ורק בשיקולי גודל.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
