בבלוג 53 שאלנו אתכם שאלה. הפעם ניגש ישירות לניסוח המשפט, הקושר בין פגישת שלושה אלכסונים במשולש לחלוקת הצלעות על ידם.
המשפט: שלושה אלכסונים במשולש נפגשים בנקודה משותפת אם ורק אם מכפלת שלוש המנות של הצלעות היא 1.
ובהתאם לציור:
AC'/C'B*BA'/A'C*CB'/B'A=1
ההוכחה פשוטה למדי: נתבונן לדוגמה במשולש :AOB בגלל האנך המשותף לבסיס, יחס שטחי המשולשים שווה ליחס בסיסי המשולשים, ולכן מנת שטחי המשולשים AOC' ו-C'OB שווה למנת הבסיסים. אם נחשב את שטחי המשולשים בעזרת הנוסחה [0.5*צלע 1*צלע 2*סינוס הזווית שביניהן] נקבל:
0.5(AO*OC'*sin1)/0.5(OC'*BO*sin2)=AC'/C'B
ולאחר צמצום : AO *sin1/BO*sin2=AC'/C'B.
בדרך דומה נחשב את מנות הבסיס הנותרות ונקבל:
(AO*sin1/BO*sin2)*(BO*sin3/CO*sin1)*(CO*sin/AO*sin3)
ולאחר צמצומים נקבל שהמכפלה שווה ל-1 והנה הוכחנו את ה"אם". עתה נוכיח בדרך השלילה את ה"רק אם". נסמן שלוש נקודות על הצלעות שמכפלת מנותיהן היא 1 ונמתח אלכסונים מקודקודי המשולש אל הנקודות בהתאמה. נניח שהשלושה אינם נפגשים בנקודה אחת ולכן נעביר אלכסון נוסף, CC'', דרך נקודת המפגש AA', BB'.
מכפלת המנות החדשה ערכה 1, אף שמופיע בה AC''/C''B במקום AC"/C"B. לכן "C=C ולכן: "אם ורק אם"!
והרי לכם שני אתגרים:
- הראו בעזרת המשפט ששלושת התיכונים, האנכים, וחוצי הזווית נפגשים בנקודה אחת.
- הראו שבעזרת חלוקת הזוויות בקודקודים על ידי האלכסונים הנפגשים מתקבל משפט דומה – אך במקום מנות קטעים נקבל מנות סינוסי זויות.
בזאת, בין השאר, נדון בבלוג הבא.
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
