בבלוג 46 הצבנו בפניכם אתגר:
נתונה משוואה כללית xm+a=ym, כאשר a ו-m הם מספרים טבעיים נתונים – האם נוכל להכריע במספר צעדים סופי אם יש מספרים טבעיים x ו-y שפותרים את המשוואה?
התשובה היא כן! והפתרון דומה לפתרון שהצענו בבלוג הקודם במקרה הפרטי:
מהמשוואה נובע ש-y>x, וכיוון שהמספרים טבעיים, גם y>=x+1
לכן: xm+a>=(x+1)m=xm+mxm-1+….>xm.
ואם נחסר משני האגפים את xm נקבל:a>mxm-1
ונקבל: x<(a/m)1/(m-1)1
לדוגמה:
יהא a-32,000,000 ו-m=4, אזי בהצבה נקבל: x<(8,000,000)1:3
ופתרון המשוואה x<200, לכן ניתן להכריע אם יש פתרון במספר צעדים סופי.
ועתה לשאלת הבונוס מבלוג 46: אם ישנו פתרון, האם ייתכנו פתרונות נוספים? וכמה?
אנו יודעים שאם יש פתרונות, מספרם בהכרח סופי, כי לכל x שנבחר מתאים לכל היותר y יחיד. מאחר שהראינו שערכו של x עבורa קטן או שווה ממספר מסוים שנסמל באות c, הרי הפתרונות ל-x חייבים להיות רק המספרים הטבעיים (כי זו הדרישה) שבין 1 ל-c, כלומר לכל היותר c פתרונות.
(אגב, אם נאפשר ל-x או ל-y להיות מספרים ממשיים, ולאו דוקא טבעיים, נקבל אינסוף פתרונות למשוואה, ו-c לא יגביל את x ו-y).
מהתוצאה המגבילה את x שקיבלנו לעיל: x<(a/m)1/(m-1)1, נובע שלא לכל משוואה כזו קיים פתרון – למשל כאשרa/m<1 , כלומר: כאשר m>a , אין פתרון. לעומת זאת, למשוואות מסוימות ייתכנו פתרונות אחדים. לדוגמה, למשוואה x2+105=y2 יש ארבעה פתרונות:
(52)2+105=(53)2
(16)2+105=(19)2
82+105=(13)2
42+105=(11)2
בבלוג הבא נראה כי במקרים מסוימים קל להראות מיד שלמשוואות שנראות מסובכות להפליא אין פתרון, מסיבות מאוד לא מסובכות.
למשל, ל-x12+12,345,678,909,876,543=y16 אין פתרון במספרים טבעיים.
נסו להוכיח. זה לא קשה... מרגע שמזהים את ה"טריק".
נרמוז: שתי החזקות הן כפולות של 4. בידקו מה קורה למספר שכתוב בשיטה העשרונית כאשר מעלים אותו בחזקת 4, ולאחר מכן – בחזקות שמתחלקות ב-4. שימו לב לספרת האחדות. מי שיפתור, מוזמן לשלוח.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.