המספרים המרוכבים הם אחד הפרקים היפים ביותר במתמטיקה, וברבות השנים הם הפכו לכלי חיוני ביותר במדעים רבים. המסלול לגילוים לא היה פשוט, כפי שמעיד גם שמם. בעבר כינו אותם "המספרים הבלתי אפשריים" וכיום הם נקראים גם "מספרים מדומים" או "מספרים דמיוניים". השם "מספרים מרוכבים" עלול לעורר רושם שלא פשוט להבין אותם, אבל זה לא יהיה מדויק. אנו שמחים לערוך לכם היכרות עמם בדרך פשוטה למדי.
בסרטון שלפנינו ובסרטון הבא מציג בפנינו אדריאן דואדי את המספרים המרוכבים. דואדי הוא מתמטיקאי צרפתי שחי בשנים 2006-1935 ותרם רבות לחקר המספרים המרוכבים. דואדי נהג לכנות עצמים מתמטיים בשמות ידידותיים כמו ארנב ומטוס, ואנו חבים לו גם את סרט האנימציה המתמטי "הדינמיקה של הארנב". התיאוריה שפיתח יוצרת תמונות יפהפיות של פרקטלים שמסייעות למתמטיקאים במחקריהם ומעניקות הנאה אסתטית לרבים.
הארנב של דואדי | תמונה: ויקיפדיה
אפילו דואדי לא יכול להסביר את כל תורת המספרים המרוכבים בשני פרקים של 13 דקות. הפרקים האלה מספקים טעימה על קצה המזלג מעולמם של המספרים המרוכבים, כעידוד להעמקה, ואולי תזכורת לשיעורים שנלמדו מזמן וכבר נשכחו. מטרתו העיקרית של הסרטון שלפניכם היא להציג את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים.
צפייה מהנה!
זהו הסרטון החמישי בסדרת "ממדים" מאת Jos Leys (גרפיקה והנפשות),
Étienne Ghys (סצנות ומתמטיקה) ו-Aurélien Alvarez (יישום ועריכה).
בסרטונים הקודמים ראינו שהישר הוא חד-ממדי. אפשר להסתכל על הישר כעל ציר מספרים שבו המספרים החיוביים יהיו הנקודות בצד ימין של נקודת הראשית והמספרים השליליים יימצאו משמאלה. הנקודות הן עצמים גיאומטריים והמספרים לעומתם הם עצמים אלגבריים. בדרך הזו אנו יכולים לחשוב על מספרים כעל נקודות ועל נקודות כעל מספרים, וכך לערבב בין האלגברה והגיאומטריה. זהו אחד הרעיונות הפוריים ביותר במתמטיקה. וכמו שקורה לא פעם קשה לייחס אותו לאדם אחד. עם זאת, נהוג לייחס לפילוסופ הצרפתי רנה דקרט את השיטה ללימוד של הגיאומטריה בעזרת האלגברה, והוא היה אבי הגיאומטריה האלגברית.
אם הנקודות על הישר הן מספרים, אזי נוכל להבין את המשמעות הגיאומטרית של הפעולות הבסיסיות בין מספרים: חיבור וכפל.
לדוגמה, מבחינה גיאומטרית ההוספה של 1 נראית כהזזה: כל נקודה מוזזת ימינה ביחידה אחת. באותה דרך אפשר לראות בכפל ב-2 כסוג של מתיחה שבה כל נקודה מוזזת לנקודה הנמצאת במרחק כפול מראשית הצירים. כפל ב-(1-) שולח כל נקודה x אל (-x), כלומר, כל נקודה עוברת לנקודה הסימטרית לה יחסית לראשית הצירים. למעשה, כל נקודה מבצעת כך חצי סיבוב סביב ראשית הצירים. כפל ב-(2-) יהיה הרכבה של שתי הפעולות הקודמות – מתיחה פי שתיים וביצוע חצי סיבוב.
כפי שראינו, כפל ב-(1-) מתאים לביצוע חצי סיבוב. כשאנו מבצעים זאת פעמיים אנחנו חוזרים לנקודה המקורית, כדיוק כפי ש-1=(1-)*(1-). כלומר, הריבוע של (1-) הוא 1.
הריבוע של (1-) הוא 1. הריבוע של (2-) הוא 4 מאותה סיבה, וכך הלאה והריבוע של כל מספר יהיה תמיד חיובי. כלומר אין על ציר המספרים מספר שהריבוע שלו הוא (1-).
השורש של (1-)
כפי שראינו בסרטון 4 בסדרת טרום-אלגברה, מתמטיקאים רבים התקשו במשך מאות שנים להשלים עם קיומם של המספרים השליליים. ברור לפיכך שגם דרכם של המספרים המרוכבים אל חיק המתמטיקה היתה כרוכה בקשיים מרובים. במשך תקופה ארוכה היה מקובל לחשוב שאי אפשר לחשב שורש של (1-) ומי שניסו לפקפק בכך נתקלו בחשדנות רבה.
בתקופת הרנסנס העזו כמה אנשים יצירתיים לשבור את הטאבו. הם חשבו שאם יעזו לכתוב 1-√, הם יוכלו לכתוב גם מספרים כמו 1-√3 +2 ולשחק עם המספרים האלה באותה דרך פורמלית בלי לנסות להבין את משמעותם. החלוצים האלה ביצעו באומץ רב חישובים עם המספרים הבלתי אפשריים האלה. ומכיוון שהחישובים שלהם לא הניבו סתירות, המתמטיקאים קיבלו בהדרגה את המספרים האלה, בלי שתהיה הצדקה ממשית לקיומם.
סיפורם של המספרים המרוכבים הוא ארוך ומורכב. בתחילת המאה ה-19 הבחינו כמה מתמטיקאים, כמו גאוס, ווסל וארגנד, באופיים הגיאומטרי של המספרים המדומים האלה. בסרטון ראיתם מצגת של רעיון פשוט להפליא של ארגנד.
ראינו שכפל ב-(1-) מתאים לחצי סיבוב סביב ראשית הצירים. כדי למצוא את השורש הריבועי של (1-) עלינו למצוא פעולה שאם נפעיל אותה פעמיים ברצף נקבל חצי סיבוב, ולכן הכריז ארגנד שהשורש הריבועי של (1-) מתאים לרבע סיבוב. אם נבצע פעמיים רבע סיבוב נקבל חצי סיבוב, כלומר כפל ב-(1-).
בעקבות הרעיון הזה נאמר שהשורש הריבועי של (1-) מתקבל אם מתחילים במספר 1 ועושים רבע סיבוב. ברור שאם יוצאים מ-1 ועושים רבע סיבוב, אנחנו כבר לא על הישר, ולכן קיבלנו שהשורש הריבועי של (1-) אינו נקודה על הישר אלא נקודה במישור!
הרעיון פשוט ויפה: אפשר לחשוב גם על הנקודות במישור כעל מספרים. ואז הם כמובן לא יהיו המספרים שאנחנו רגילים אליהם. מסיבה זו אנחנו אומרים שהמספרים "המסורתיים" הם המספרים הממשיים ואילו המספרים שהגדרנו כרגע, שמקושרים לנקודות במישור, הם המספרים המרוכבים.
אם היינו רגילים לחשוב על נקודות במישור כעל זוג של מספרים ממשיים (x,y), ארגנד עודד אותנו להסתכל עליהן כעל מספר מרוכב אחד: x+yi. כלומר המישור הממשי הדו-ממדי הוא עבורו ישר חד-ממדי מרוכב!
מתמטיקאים ניסו להרחיב את הרעיון לשלושה ממדים, אך איך אפשר להכפיל נקודות במרחב? כעבור זמן רב הם הבינו שהדבר אינו אפשרי במרחב התלת-ממדי. במרחב הארבעה-ממדי, לעומת זאת, הם גילו שהדבר אפשרי בצורה חלקית, כל עוד מוותרים על תכונת החילופיות של הכפל. בנוסף גילו שבשמונה ממדים זה מתאפשר בתנאי שמוותרים על תכונת הקיבוציות של הכפל. באמצע המאה ה-20 הוכח שרק בממדים 1, 2, 4 ו-8 אפשר להכפיל נקודות!
נמשיך לדון בנושא המספרים המרוכבים בסרטון הבא.
יפעת בן יעקב (על פי אתר "ממדים")
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע