כתבי חידה עתיקים הם תמיד עניין מסקרן ומרתקף אך דבר לא משתווה לכתב החידה שנכתב ב-1637 וחולל סערה אמיתית. כתב החידה הזה נמצא בשוליו של ספר אריתמטיקה ונכתב בו, "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך השוליים האלה צרים מהכילה". כותב המשפט היה פייר דה פרמה, מגדולי המתמטיקאים של המאה ה17, והמשפט שלטענתו הוא הוכיח אך לא טרח לפרט היה:
עבור n>2, אין מספרים טבעיים a,b,c שמקימיים את השיוויון הבא:
במשך 358 שנים ניסו מתמטיקאים להוכיח את המשפט הזה, ולשם כך פיתחו כלים מתמטיים אדירים, במיוחד כדי להתמודד עם כתב החידה הקצר הזה. בדרך התגלו פתרונות חלקיים להוכחה, כולם מסובכים להפליא ובוודאי לא היו יכולים להיכתב בשוליים של שום ספר. ב-1995 החידה נפתרה והמשפט הוכח לבסוף בידי אנדרו ויילס. הפתרון נפרש על פני לא פחות מ-200 עמודים!
שאלה פתוחה שלא נענתה היא אם פרמה אמנם מצא פתרון לבעיה, או שכמו אלפי מתימטיקאים לאורך הדורות דימה שפתר שאלה קשה עד שהתגלתה טעותו. כך או כל, בטעות או בגאונות הוא שלח אלפי מתמטיקאים במשך מאות שנים למרדף אחרי התשובה המלאה והנכונה.
במקום לעסוק בחידה שנפתרה, אציב בפניכם בעיה דומה: האם ישנם מספרים טבעיים b ,a, ו-c שמקיימים את המשוואה הבאה עבור n>1 :
האם תזדקקו ל-358 שנים נוספות? חישבו, אולי רק 358 שניות, כי למרבה האכזבה הפתרון פשוט ביותר: עבור כל a ו-b טבעים נקבל תמיד:
לדוגמה, עבור a=2 ,n=3 ו-b=3
לכן נעלה שאלה קצת יותר קשה: מהו התנאי ההכרחי והמספיק כדי שהשוויון הבא יתקיים:
ברור שהוא יכלול את הפתרון מהמשוואה הקודמת, אך האם יכלול גם אפשרויות נוספות? חישבו, ואחר כל השוו עם הפתרון הבא:
לצורך הפתרון נעלה את המשוואה בריבוע ונקבל:
אנו רוצים ש-c יהיה מספר ממשי. a ו-b צריכים להיות ממשיים. לכן ab יהיה ריבועי, כלומר השורש שלו יהיה מספר ממשי, נקבל ש-c הוא סכום של מספרים ממשיים ולכן גם הוא ממשי. זהו אם כן התנאי היחיד והמספיק לקיומו של השיוויון.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
