בבלוג 25 למדנו איך ליצור עטרה של משולשים בכל גודל. מעין הכללה של צורת המגן דוד. ראינו שאפשר להגדיר תהליך של כפל וחילוק לסרוגין של צלעות העטרה, כך שתוצאתו היא 1 – אף שבחרנו את הישרים באופן מקרי בסרגל בלתי מסומן. השווינו זאת לכך שתהיה פונקציה לא טריוויאלית, f(x)=0 שמתאפסת עבור כל x – פונקציה בלתי אפשרית.
בבלוג זה ובבאים נעסוק בשני משפטים גיאומטריים חשובים שמקיימים את התכונה המפתיעה הזו. כולנו מכירים את המשפטים שקובעים כי במשולש יש לכל אחת מהשלשות – שלושת התיכונים, שלושת הגבהים, ושלושת חוצי הזווית – נקודת חיתוך משותפת. או בלשון עממית – שלושתם נפגשים באותה נקודה.
מה כל כך מיוחד בתיכונים, גבהים וחוצי זווית? אולי שהם "סימטריים"? התיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים; החוצה –לשתי זוויות שוות; הגבהים – לשתי זוויות ישרות. אולי הסימטריה היא תנאי הכרחי ומספיק לפגישת אלכסונים?
הבה נבחן זאת באמצעות שרטוט. נשרטט משולש אקראי עם אלכסונים אקראיים.
נראה שהציור שולל כל קשר לסימטריה. שרטטנו בצורה מקרית שניים מהאלכסונים ואת השלישי העברנו דרך נקודת החיתוך המקרית שנוצרה. ברור לחלוטין שאין פה שום סימטריה, אך האלכסונים "נפגשים"! אם לא סימטריה – מהו התנאי למפגשם? הרי לפניכם אתגר ורמז להוכחה שתובא בבלוג הבא: הסוד הוא ביחסי קטעי הצלעות, וההוכחה בעזרת נוסחת שטח המשולש.
ונושא נוסף להרהר בו: האם באמת כל הישרים והנקודות בשרטוט הם "מקריים? נדון בכך באחד הבלוגים הבאים.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
