משפט תאלס: שתי הוכחות

לפי משפט תאלס, אם B ,A ו-C הן נקודות על מעגל, והקטע AC הוא קוטר במעגל, אזי הזווית ABC היא זווית ישרה.

משפט תאלס היה מוכר במצרים ובבבל, אך תאלס איש מילטוס היה הראשון שהוכיח אותו ולכן המשפט נקרא כיום על שמו. את המשפט אפשר להוכיח בכלי הגיאומטריה הקלאסית (הגיאומטריה האוקלידית) או בכלי הגיאומטריה האנליטית, שבה "מתרגמים" בעיות גיאומטריות לבעיות אלגבריות כדי לפתור אותן ביתר קלות.

משפט תאלס על פי הגיאומטריה האוקלידית

להוכחת המשפט נשתמש בשני משפטי עזר:

א. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
ב.זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות.

רואים בתמונה ש-OA=OB=OC, ולכן ΔOBA ו-ΔOBC הם משולשים שווי שוקיים. לפי משפט עזר ב':

∠OCB(הזווית בין הישרים שעוברים ב- OCוב-CB) שווה ל-∠OBC (הזווית בין הישרים שעוברים ב- OBוב-CB). נכתוב β=∠OBC.

באופן דומה:∠BAO=∠ABO. נכתוב α=∠BAO.

על פי המינוח הזה, זוויות המשולש ABC תהיינה  α,βו-(α+β). לפי משפט עזר א':

β+α+(α+β)=180º ⇔ 2β+2α=180° ⇔ 2(α+β)=180° ⇔α+β=90º

מש"ל.

משפט תאלס על פי הגיאומטריה האנליטית

נזכיר שהשיפוע m של קו ישר שעובר בשני נקודות $A(a_x,a_y)$ ו- $B(b_x,b_y)$  מתקבל כיחס שבין ההפרש בין שיעורי ה- Yשל הנקודות להפרש בין שיעורי ה- Xשלהן:

$m=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_y}$

ניעזר במשפט עזר: מכפלת השיפועים של שני קווים ישרים מאונכים זה לזה שווה ל-1^-.

כל הנקודות ($x,y$) במעגל (כמקום גיאומטרי), שמרכזו נמצא בנקודה ($x_0,y_0$) והרדיוס שלו הוא $R$, מקיימות את המשוואה

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

נסתפק בהמשך במעגל עם מרכז בראשית המערכת (התכונות הגיאומטריות שבהן נשתמש בהמשך קבועות (אינווריאנטיות) להזזה, כלומר אינן משתנות בהזזה).

נחשב את שיפוע הישר שעובר בנקודות B ו- Cואת שיפוע הישר שעובר בנקודות A ו- B ונוכיח ששני הישרים מאונכים זה לזה.

שיעורי הנקודות A ו-B הן $(-R,0)$ ו-($B_x,B_y$). שיפוע הישר העובר בנקודות הללו הוא
$\frac{B_y-0}{B_x - (-R)}=\frac{B_y}{B_x+R}$.

נקרא לשיפוע זה  $m$ ($m=\frac{B_y}{B_x+R}$).

שיעורי הנקודות B ו-C הם ($B_x, B_y$) (כמו קודם) ו-($R,0$).שיפוע הישר העובר בנקודות הללו הוא $\frac{B_y}{B_x-R}$.

נקרא לשיפוע זה  $m'$ ($m'=\frac{B_y}{B_x-R}$).

מאחר ש- Bנמצא על המעגל, קיימת המשוואה

$B_x^2+B_y^2=R^2 \Leftrightarrow B_y^2=R^2-B_x^2$.

מכפלת השיפועים m ו- m’שווה ל-

$\frac{B_y}{B_x+R}\cdot\frac{B_y}{B_x-R}=\frac{B_y^2}{B_x^2-R^2}=\frac{R^2-B_x^2}{B_x^2-R^2}=-1.$

מש"ל.

ד"ר סבינה שטוקר-סגרה
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.