לקריאת הכתבה

טרום אלגברה – פרק 32: מספרים אי-רציונליים

לאחר שבסרטונים הקודמים הכרנו את פעולת השורש, נראה בסרטון הזה איך פעולת השורש גרמה למתמטיקאים להבין שישנם מספרים שאי אפשר לייצג על ידי המספרים הרציונליים. שלא במפתיע, המספרים האלה זכו לכינוי "המספרים האי-רציונליים".

צפייה מהנה! (אחרי הפעלת הסרטון תוכלו לבחור בכתוביות בעברית).
 

הסרטון הופק בידי WHY U.
תרגום הסרטון: יפעת אדלר (בן יעקב), צוות דוידסון-אונליין

 

יפעת אדלר (בן יעקב)
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

5 תגובות

  • א.עצבר

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ?

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ? השימוש במספרים ללא סוף המופיעים אחרי הפסיק נובע מהחלטה להשתמש אך ורק בחלקים העשרוניים של 1 , כמו עשירית , מאית , אלפית , וכו , ( ההחלטה הפסיקית) לשם פשטות נשתמש בביטוי אנטי 10 כדי לתאר עשירית, אנטי 7 כדי לתאר שביעית, אנטי 3 כדי לתאר שליש , אנטי 1000 כדי לתאר אלפית , וכן הלאה. מעתה יהיו מספרים טבעיים ואנטי מספרים טבעיים, והמשוואה....... N כפול אנטי N = 1 מתי מופיעים המספרים אחרי הפסיק ?
    המספרים אחרי הפסיק מופיעים, כאשר מקיימים את "ההחלטה הפסיקית" , ומנסים לתאר את אנטי 3 עם החלקים העשרוניים של 1 אנטי 3 = 3אנטי10 + 3אנטי100 + 3אנטי1000 + 3אנטי10000 +++ ללא סוף.
    בתיאור זה אין כל תועלת, מכיוון שאנטי3 הוא ביטוי כמותי מדויק ומושלם, והאגף השמאלי של המשוואה הוא ביטוי כמותי מסורבל, לא יעיל, ולא מושלם. מה יקרה אם נבטל את ההחלטה הפסיקית ? ......אז נקבל מתמטיקה מדויקת ומושלמת.
    במקום המשוואה שאינה מדויקת ואינה מושלמת ...... 7 חלקי 11 = ...0.6363636
    נקבל משוואה מושלמת ........................................7 חלקי 11 = 7אנטי11
    תמיד אפשר לרשום משוואה מושלמת כמו...............37 חלקי 17 = 37 אנטי17
    מה התועלת ברישום הלא מושלם ........................37 חלקי 17 = 2.1764706 על פי ההחלטה הפסיקית, אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1 ,
    הוא גדול מ 1.414213 וקטן מ 1.414214
    ובלי ההחלטה הפסיקית ....הוא גדול מ 2402אנטי1700 וקטן מ 109אנטי77 מדוע באה ההחלטה הפסיקית לעולם ? מדוע לא לבטל את ההחלטה הפסיקית ?
    מדוע לא להשתמש בכל האנטי מספרים , ולא רק באנטי מספרים עשרוניים ?
    הרי המתמטיקה ממש מושלמת בלי ההחלטה הפסיקית.
    התשובה היא פשוטה,
    המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות, ובלי
    ההחלטה הפסיקית , שרות זה לא היה מתקיים. האם המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות ? מיקרומטר הוא מד אורך מדויק , המסוגל למדוד קטרים עד רמת דיוק של מחצית מאית מ"מ .
    מדידת קוטר של מטבע בעזרת מיקרומטר יכולה להניב תוצאה מעשית כמו
    קוטר המטבע = 17 מ"מ + 9 עשיריות מ"מ + מאית מ"מ
    מדידה זו נרשמת כ 17.91 מ"מ , והיא מתאימה להחלטה הפסיקית. מיקרומטר אינו מספק תוצאה כמו 197אנטי11 מ"מ , אלא תוצאה כמו 17.91 מ"מ לכן, באה ההחלטה הפסיקית, במטרה ברורה לשרת את הפרקטיקה של מדידות. מדידה וחישוב של גדלים רציפים .............( אורך, זמן , אנרגיה )
    מדידה מתבצעת על גודל רציף וכל מדידה אינה מושלמת,
    כל מדידה מפיקה שני מספרים קרובים זה לזה, שהתוצאה האמיתית של המדידה אמורה להיות בין
    המספרים האלה. ככל שהמדידה מדויקת יותר, שני המספרים האמורים קרובים יותר זה לזה. כל חישוב על גודל רציף מתנהג כמו מדידה.
    לכן,
    אין הבדל עקרוני בין חישוב ומדידה (על גדלים רציפים), ורק רמת הדיוק מבדילה בינהם. צירוף אקראי של שני אורכים רציפים.
    אורך קיסם ואורך עיפרון מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, ורק מדידה מסוגלת לגלות שני
    מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך העיפרון מאורך הקיסם. אורך היקף מעגל נבחר ואורך קוטרו מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים,ורק מדידה מסוגלת
    לגלות שני מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך ההיקף מאורך הקוטר. צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, שייך לפיזיקאי המבצע מדידות, ואינו שייך למתמטיקאי.
    לכן, המעגל לא שייך למתמטיקה אלא הוא שייך לפיזיקה. א.עצבר

  • א.עצבר

    קישור לנושא

    http://davidson.weizmann.ac.il/online/mathcircle/articles/%D7%9E%D7%A1%D...

  • גלעד

    יש משהו לא ברור בהסבר

    בסרטון אומרים שאנו יודעים כי שורש 2 הוא לא שלם. בסרטון מציינים זאת כעובדה אבל לא מסבירים איך אנו יודעים ששורש 2 הוא בהכרח לא מספר שלם.

  • יפעת אדלר

    שלום גלעד

    תודה על תגובתך.

    איך מוכיחים ששורש 2 אינו מספר שלם?
    בוא נבדוק את האפשרויות.

    שורש 2 הוא מספר a שכאשר כופלים אותו בעצמו התוצאה המתקבלת היא 2 (2=a*a).

    נבדוק את המספרים השלמים האפשריים.
    0 כפול 0 = 0
    1 כפול 1 = 1
    2 כפול 2 = 4
    3 כפול 3 = 9
    עבור מספרים שלמים גדולים מ-3 נקבל תוצאות גדולות מ-9.
    1- כפול 1- = 1
    2- כפול 2- = 4
    3- כפול 3- = 9
    עבור מספרים שלמים שליליים קטנים מ-3- גם כן נקבל תוצאות גדולות מ-9.
    כלומר ראינו שלא קיים מספר שלם שכאשר כופלים אותו בעצמו נקבל תוצאה 2 ולכן השורש של 2 אינו שלם.

    למעשה, לפי התוצאות שקיבלנו, שורש 2 הוא מספר בין 1 ל-2 (ובין 1- ל-2-) וכמובן שהוא אינו שלם.

    כדי להמחיש:

    נכתוב את המספרים השלמים ואת הריבועים שלהם:

    שורשים שלמים: ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3- ,4- ,5-...
    הריבועים שלהם (כלומר, מספרים שהשרשים שלהם שלמים): ... 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25...

    כפי שאפשר לראות 2 לא מופיע ברשימת המספרים שהשרשים שלהם שלמים.

  • גלעד

    תודה רבה יפעת

    ההסבר שלך ברור וקולע.
    תודה.