הקוונטום שאיננו קוונטי

בקיצור

• מכניקת הקוונטים, כך מקובל לחשוב, היא תיאוריה בדידה מעצם טבעה, אך המשוואות שלה מנוסחות במונחים של גדלים רציפים. ערכים בדידים מגיחים מתוכה, בהתאם לאופן שבו נבנית כל מערכת.
• פרטיזנים דיגיטיליים מתעקשים שהגדלים הרציפים, אם נתבונן בהם מקרוב, יתבררו כבדידים: הם נחים על גבי רשת צפופה שיוצרת אשליה של רצף, כמו הפיקסלים שעל מסך מחשב.
• ואולם, הרעיון של מרחב בדיד ומפוקסל סותר לפחות מאפיין אחד של הטבע: האי-סימטריה בין גרסאות שמאליות וימניות של חלקיקי חומר יסודיים.

בשלהי המאה ה-19 הצהיר המתמטיקאי הגרמני המפורסם, לאופולד קרונקר ש"אלוהים ברא את המספרים השלמים וכל השאר הם מעשי ידי אדם." הוא סבר שמספרים שלמים ממלאים תפקיד יסודי במתמטיקה. הציטוט הזה מדבר גם אל לבם של הפיזיקאים של ימינו, אבל בצלילים אחרים. הוא מתקשר לסברה, שנעשתה יותר ויותר מקובלת במהלך עשרות השנים האחרונות, שהטבע, עמוק בפנים, הוא בדיד, שאפשר לספור את אבני הבניין של החומר ושל המרחב-זמן, זו אחר זו. שורשיו של הרעיון נטועים כבר בהגותם של האטומיסטים היוונים הקדמונים, אבל יש לו עוצמה רבה יותר כיום, בעידן הדיגיטלי. פיזיקאים רבים החלו לחשוב על עולם הטבע כעל מחשב כביר המתואר באמצעות ביטים בדידים של מידע, שבו חוקי הפיזיקה משמשים כאלגוריתם, כמו הגשם הדיגיטלי הירוק שרואה ניאו בסוף הסרט "מטריקס" מ-1999.

ואולם, האם באמת זו הדרך שבה פועלים חוקי הטבע? על אף שהגישה הזאת עשויה להיראות כעומדת בסתירה לרוח הזמן, אני, ולא רק אני, סבור שהמציאות ביסודו של דבר היא אנלוגית ולא דיגיטלית. מנקודת המבט הזאת, העולם הוא רצף של ממש. גם אם תסתכלו בו מקרוב ככל שתרצו, לא תמצאו אבני בניין שאינן ניתנות לחלוקה. גדלים פיזיקליים אינם מספרים שלמים אלא מספרים ממשיים: מספרים רציפים, עם אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית. לחוקים הידועים של הפיזיקה, למרבה אכזבתם של חובבי ה"מטריקס", יש מאפיינים שאין איש יודע כיצד ליצור בעבורם הדמיית מחשב, יהיה מה שיהיה מספר הבתים בזיכרון שלו. הכרה בהיבט הזה של חוקי הפיזיקה חיונית אם אנו מעוניינים לפתח תיאוריה מאוחדת ושלמה של הפיזיקה.

חידה קדמונית

הוויכוח בין דיגיטלי לאנלוגי הוא אחד הוויכוחים העתיקים ביותר בפיזיקה. האטומיסטים, מצד אחד, ראו את העולם כבדיד, ומצד אחר, פילוסופים יוונים אחרים כגון אריסטו חשבו עליו כעל רצף. בזמנו של אייזק ניוטון, שחי במאות ה-17 וה-18, נחלקו הפילוסופים של הטבע בין תיאוריות חלקיקיות (בדידות) ובין תיאוריות גליות (רציפות). בימיו של קרונקר, היו כבר חסידי האטומיזם, כגון ג'ון דלטון, ג'יימס קלרק מקסוול ולודוויג בולצמן, מסוגלים לגזור את חוקי הכימיה, התרמודינמיקה והגזים. אבל עדיין מדענים רבים נותרו ספקנים.

וילהלם אוסטוולד, חתן פרס נובל לכימיה לשנת 1909, טען שחוקי התרמודינמיקה מתייחסים אך ורק לגדלים רציפים כגון אנרגיה. בדומה לכך, התיאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול תיארה שדות חשמליים ושדות מגנטיים כרציפים. מקס פלנק, שלימים יהיה מפורצי הדרך של מכניקת הקוונטים, חתם מאמר רב השפעה ב-1882 במילים: "על אף ההצלחה הרבה שנהנתה ממנה התיאוריה האטומית עד כה, בסופו של דבר יהיה צורך לזנוח אותה לטובת הנחה של חומר רציף."

אחד הטיעונים החזקים ביותר של מחנה הרצף היה השרירותיות לכאורה של האי-רצף. לדוגמה: כמה כוכבי לכת יש במערכת השמש? כשלמדתי בבית הספר, אמרו לי שיש תשעה. ב-2006 סילקו האסטרונומים באופן רשמי את פלוטו מנבחרת כוכבי הלכת, כך שנותרו רק שמונה. ובמקביל, הם הרכיבו ליגה בי"ת, של כוכבי לכת ננסיים. אם נכלול את אלו, המספר יגיע ל-13. בקצרה, אם רוצים לענות ביושר על השאלה כמה כוכבי לכת יש במערכת השמש, נצטרך לומר שהתשובה תלויה באופן שבו סופרים. חגורת קויפר המצויה מעבר למסלול של נפטון מכילה עצמים שגודלם נע מכמה מיקרונים ועד אלפי קילומטרים. תוכלו למנות את כוכבי הלכת אך ורק אם תחליטו על אבחנה שרירותית למדי שתקבע מהו כוכב לכת מלא, מהו כוכב לכת ננסי, ומהו סתם גוש סלע או קרח.

בסופו של דבר, הגיעה מכניקת הקוונטים ושינתה את פניו של הוויכוח על דיגיטליוּת ואנלוגיוּת. ההגדרה של כוכב לכת יכולה אולי להיות שרירותית, אבל ההגדרה של אטום או של חלקיק יסודי איננה שרירותית כלל. המספרים השלמים המוצמדים ליסודות הכימיים, שכפי שאנו יודעים היום מונים את מספר הפרוטונים באטום המרכיבים את היסודות, הם מספרים אובייקטיביים. יהיו מה שיהיו ההתפתחויות העתידיות בפיזיקה, אני מוכן בשמחה להתערב שלעולם לא נראה יסוד בעל √500 פרוטונים ש"יושב" בין טיטניום ובין ונדיום. המספרים השלמים בפיזיקה האטומית אינם מתכננים לעזוב אותנו.

דוגמה נוספת לכך היא תחום הספקטרוסקופיה, כלומר חקר האור הנפלט מחומר ונבלע על ידיו. אטום מסוג מסוים יכול לפלוט רק צבעים מסוימים מאוד של אור, והתוצאה היא טביעת אצבע מובחנת לכל אטום ואטום. בשונה מטביעות אצבע של בני אדם, הספקטרום של כל אטום מציית לחוקים מתמטיים יציבים. והחוקים האלה נשלטים על ידי מספרים שלמים. הניסיונות הראשונים להבין את מכניקת הקוונטים, בייחוד ניסיונותיו של הפיזיקאי הדני נילס בּוֹהְר, הציבו בלב ליבה גדלים בדידים.

מספרים שלמים מגיחים

אבל בוהר לא היה הפוסק האחרון. ארווין שרדינגר פיתח גישה חלופית לתורת הקוונטים ב-1925, המבוססת על רעיון של גלים. המשוואה שניסח כדי לתאר כיצד הגלים האלה מתפתחים מכילה אך ורק גדלים רציפים, בלי שום מספרים שלמים. ועם זאת, כשפותרים את משוואת שרדינגר בעבור מערכת מסוימת, מתחולל קסם מתמטי קטן. קחו לדוגמה את אטום המימן: האלקטרון חג מסביב לפרוטון במרחקים מסוימים מאוד. המסלולים הקבועים האלה מיתרגמים לספקטרום של האטום. האטום מקביל אפוא לחלילית, המפיקה סדרת תווים בדידים, על אף שתנועת האוויר רציפה. לפחות ככל שהדבר נוגע לאטום, המסר ברור: אלוהים לא ברא את המספרים השלמים. הוא ברא מספרים רציפים, והשאר הוא מלאכתה של משוואת שרדינגר.

במילים אחרות, המספרים השלמים אינם הקלט של התיאוריה, בניגוד למה שסבר בוהר. הם הפלט שלה. המספרים השלמים הם דוגמה למה שהפיזיקאים מכנים גודל מגיח (emergent). מנקודת המבט הזאת, המונח "מכניקת הקוונטים" אינו הולם. עמוק בפנים, התיאוריה איננה קוונטית. במערכות דוגמת אטום המימן, התהליכים המתוארים על ידי התיאוריה מעצבים גדלים בדידים מתוך רציפות הניצבת בתשתית הדברים.

עוד יותר מפתיעה מכך, אולי, היא העובדה שקיומם של אטומים, ובעצם של כל חלקיקי היסוד, גם הוא אינו קלט של התיאוריות שלנו. הפיזיקאים מלמדים דרך שגרה שאבני הבניין של הטבע הם חלקיקים בדידים כמו האלקטרון או הקווארק. זהו שקר. אבני הבניין של התיאוריות שלנו אינן חלקיקים אלא שדות: עצמים רציפים וזורמים המתפשטים בכל המרחב. השדה החשמלי והשדה המגנטי הם שתי דוגמאות מוכרות, אבל קיים גם שדה אלקטרון, שדה קווארק, שדה היגס ועוד כמה וכמה. העצמים שאנחנו מכנים חלקיקי יסוד אינם יסודיים, הם אינם אלא אדוות בשדות רציפים.

הספקנים עשויים לטעון שדווקא יש בחוקי הפיזיקה כמה מספרים שלמים. לדוגמה, החוקים מתארים שלושה סוגי ניטרינו, שישה סוגי קווארקים (כשכל אחד מהם מופיע בשלוש צורות המכונות צבעים), וכן הלאה. עוד ועוד מספרים שלמים, בכל פינה. האומנם? בכל הדוגמאות האלה אנחנו בעצם מונים את מספר סוגי החלקיקים שבמודל הסטנדרטי, ואין זה סוד שקביעת הגודל הזה במדויק מבחינה מתמטית היא משימה קשה כשהחלקיקים מגיבים אלו עם אלו. חלקיקים יכולים לשנות צורה: נויטרון יכול להתפצל ולהפוך לפרוטון, אלקטרון וניטרינו. האם עלינו לספור זאת כחלקיק אחד, שלושה חלקיקים או ארבעה חלקיקים? הטענה שקיימים שלושה סוגי ניטרינו, שישה סוגי קווארקים וכן הלאה היא תוצאת לוואי של הזנחת האינטראקציות בין חלקיקים.

והנה עוד דוגמה למספר שלם בחוקי הפיזיקה: מספר הממדים המרחביים הנצפים הוא שלושה. האומנם? המתמטיקאי המנוח המפורסם, בנואה מנדלברוט, קבע שמספר הממדים המרחביים אינו חייב להיות מספר שלם. קו החוף של אנגליה, למשל, הוא בעל 1.3 ממדים בערך. יותר מזה, ברבות מן התיאוריות המאוחדות בפיזיקה שהוצעו, כגון תורת המיתרים, ממד המרחב אינו חד משמעי. ממדים מרחביים יכולים להיווצר או להתפוגג.

אעז ואטען שייתכן שרק מספר שלם אמיתי אחד מופיע בכל הפיזיקה כולה. חוקי הפיזיקה מתייחסים לממד אחד של זמן. בלי ממד אחד בדיוק של זמן, נראה שהפיזיקה תיעשה בלתי עקיבה.

רעיונות לא-בדידים

אפילו אם התיאוריות הנוכחיות שלנו מניחות שהמציאות רציפה, רבים מעמיתיי הפיזיקאים סבורים שעדיין, בתשתית הרציפות הזאת שוכנת מציאות בדידה. הם מורים על דוגמאות שבהן רציפות עשויה להגיח מתוך גדלים בדידים. בקני המידה המַקרוסקופיים של התנסויות היום-יום, מים בכוס נראים חלקים ורציפים. רק כשמתבוננים הרבה יותר מקרוב אפשר לראות את המרכיבים האטומיים. הייתכן שמנגנון מן הסוג הזה שוכן בשורש הפיזיקה? אולי אם נתבונן ברובד עמוק יותר, יתברר שגם בתשתיתם של השדות הקוונטיים החלקים של המודל הסטנדרטי, ואולי אפילו של המרחב-זמן עצמו, ניצב מבנה בדיד.

איננו יודעים מהי התשובה לשאלה הזאת, אבל נוכל ללקט רמז לתשובה מתוך 40 שנים של מאמצים ליצור הדמיית מחשב של המודל הסטנדרטי. כדי לבצע הדמיה כזאת, חייבים ראשית כול לקחת את המשוואות המבוטאות במונחים של גדלים רציפים ולמצוא ניסוח בדיד שיתאים לביטים של מידע שבהן משתמשים המחשבים. על אף מאמצים שנמשכו עשרות שנים, טרם הצליח איש לבצע את המשימה. היא נותרה אחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בפיזיקה התיאורטית, אף שאין מדברים עליה הרבה.

הפיזיקאים פיתחו גרסה בדידה של שדות קוונטיים, המכונה תורת השדות השריגית. בתיאוריה הזאת, המרחב-זמן מוחלף במערכת נקודות. מחשבים אומדים גדלים בנקודות האלה כדי ליצור קירוב של שדה רציף. ואולם, לטכניקה הזאת יש מגבלות. הקושי נעוץ באלקטרונים, בקווארקים ובחלקיקים חומריים אחרים, המכונים פֶרְמִיוֹנים. עד כמה שהדבר נשמע מוזר, כשמסובבים פרמיון ב-360 מעלות, לא מוצאים את אותו עצם שאתו התחלנו. עלינו לסובב את הפרמיון ב-720 מעלות כדי לקבל בחזרה את אותו עצם. פרמיונים מתנגדים להצבתם על שריג. בשנות ה-80, הוכיחו הולגר בך נילסן ממכון נילס בוהר שבקופנהגן ומסאו נינומיה, העובד כעת במכון לפיזיקה קוונטית של אוקאימה שביפן, משפט מפורסם האומר שאי אפשר ליצור מודל בדיד בעבור סוג הפרמיון הפשוט ביותר.

עוצמתם של משפטים כאלה היא כעוצמת הנחות היסוד שלהם ולא יותר, ובשנות ה-90 הציגו תיאורטיקנים, בייחוד דייוויד קפלן, העובד כעת באוניברסיטת וושינגטון, והרברט נויברגר מאוניברסיטת רטגרס, כמה וכמה שיטות יצירתיות להציב פרמיונים על השריג. קיימות גרסאות רבות שאפשר להעלות על הדעת לגבי תורות שדות קוונטיים, ולכל אחת מהן יש סוגי פרמיונים אפשריים אחרים, ואנשים מסוגלים כעת לנסח מודל שמציב כמעט כל אחד מהם על גבי שריג. קיימת רק קבוצה אחת ויחידה של תורות שדות קוונטיים שאנשים אינם יודעים כיצד להציב על גבי שריג. למרבה הצער, הקבוצה הזאת כוללת את המודל הסטנדרטי. אנחנו יכולים לטפל בסוגים מסוגים שונים של פרמיונים היפותטיים, רק לא באלה שקיימים בפועל.

לפרמיונים במודל הסטנדרטי יש תכונה מיוחדת מאוד. הפרמיונים שמסתחררים בניגוד לכיוון השעון "חשים" את הכוח הגרעיני החלש, ואלו שמסתחררים בכיוון השעון אינם "חשים" אותו. במקרה כזה אומרים שהתיאוריה היא כיראלית (כלומר, חסרת סימטריית שיקוף פנימי). תיאוריה כיראלית היא תיאוריה רגישה. אפקטים עדינים המכונים אנומליות מאיימים כל הזמן להפוך אותה לחסרת עקיבות פנימית. נכון לעכשיו, תיאוריות כאלה מתנגדות לניסיונות לבנות בעבורן מודל ממוחשב.

ואולם כיראליות, אינה בגדר "באג" כלשהו במודל הסטנדרטי, שאולי ייעלם אם נמצא תיאוריה עמוקה יותר; אלא היא מאפיין הניצב בלב ליבה של התיאוריה. במבט ראשון, המודל הסטנדרטי המבוסס על שלושה כוחות המקושרים זה אל זה, נראה כמו מבנה שרירותי. רק כשחושבים על הפרמיונים הכיראליים עולה לנגד עינינו יופיה האמיתי של התיאוריה. כמו במשחק תצרף מושלם, עם שלושה חלקים שננעלים זה בתוך זה באופן האפשרי היחיד. טבעם הכיראלי של הפרמיונים במודל הסטנדרטי גורם לכל החלקים להתאים זה לזה.

המדענים אינם יודעים בוודאות מהי המשמעות של אי יכולתנו ליצור הדמיה ממוחשבת של המודל הסטנדרטי. קשה להסיק מסקנות מוצקות מתוך כישלון לפתור בעיה; ייתכן מאוד שהחידה קשה ביותר, והיא מחכה לפתרון שיגיע באמצעות שיטות מקובלות. אבל היבטים מסוימים של הבעיה משמיעים צליל של משהו עמוק יותר. המכשלות הכרוכות בכך קשורות קשר הדוק למתמטיקה של טופולוגיה וגאומטריה. ייתכן שהקושי להציב פרמיונים כיראליים על השריג אומר לנו משהו משמעותי: שחוקי הפיזיקה, עמוק בפנים, אינם בדידים. איננו חיים בתוך הדמיית מחשב.

הערת העורכים

בשנה שעברה הציג המכון לשאלות היסוד (FQXi), בתחרות המאמרים השלישית שערך, את השאלה הזאת לפיזיקאים ולפילוסופים: "האם המציאות דיגיטלית או אנלוגית?" מארגני התחרות ציפו שהמשתתפים יכריעו לצד הדיגיטלי. ככלות הכול, משמעות המילה "קוונטי" בפיזיקת הקוונטים היא "בדיד", ולפיכך – "דיגיטלי." אבל רבים מן המאמרים הטובים ביותר גרסו שהעולם אנלוגי. אחד מהם היה של דייוויד טונג, שהיה אחד הזוכים במקום השני. הכתבה כאן היא עיבוד של מאמרו.