מושב פלפלון ומושב תפוחון נמצאים שניהם ליד כביש ישר. חברי שני המושבים החליטו להקים ביחד תחנת דלק לצד הכביש. חברי מושב פלפלון הציעו להקים את התחנה בנקודה הקרובה ביותר אליהם לצד הכביש (הנקודה הצהובה). חברי מושב תפוחון הציעו להקים את התחנה בנקודה הקרובה ביותר אליהם לצד הכביש (הנקודה הכחולה).

כדי לפתור את המחלוקת החליטו חברי שני המושבים להתפשר ולהקים את התחנה בנקודה כלשהי שסכום המרחקים שלה ממושב פלפלון וממושב תפוחון יהיה הקטן ביותר האפשרי.

על חברי המושבים למצוא את הנקודה על גבי המפה שלמעלה, כשלרשותם רק מחוגה (שמאפשרת להעביר מעגל סביב נקודה נתונה, שעובר דרך נקודה נתונה אחרת) וסרגל (שמאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות). על הסרגל אין שנתות, כך שאי אפשר למדוד איתו מרחקים.

עזרו להם למצוא בדרך הפשוטה ביותר את הנקודה שבה עליהם להקים את תחנת הדלק. תוכלו להיעזר בדוגמאות לבניות פשוטות בוויקיפדיה.

בקרוב נפרסם פתרון מפורט לחידה.

החידה מבוססת על חידה שנתן בתחילת העשור הקודם גבריאל בן-גן בשיעור בתיכון "הנדסאים" שליד אוניברסיטת תל אביב. תודה למר בן-גן.

ארי 

 

24.07.15

הפתרון לחידה נמצא כאן: פתרון חידת תחנת הדלק



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

22 תגובות

  • רמי

    חידת המשך : סכום מרחקים בתנועת צריח

    אותה החידה עם השינויים הבאים: בהנחה שקיים הכביש ממושב פלפלון לנקודה הצהובה, וקיים הכביש ממושב תפוחון לנקודה הכחולה,
    נרצה שתחנת הדלק תשב בדיוק באותו מרחק נסיעה על הכבישים מכל אחד משני המושבים.
    :
    :
    כיצד נמצא את הנקודה בעזרת סרגל ומחוגה ?
    האם ניתן למצוא את הנקודה רק עם מחוגה ?

  • דן-1

    פתרון לתנועת צריח

    נניח בצורה כללית כי קטע הכביש מתפוחון עד לכחולה ארוך או שווה לקטע הכביש מפלפלון עד לצהובה.
    בעזרת סרגל ומחוגה נחצה את המרחק בין הצהובה לכחולה.מהנקודה שקבלנו נקצה את ההפרש בין שני קטעי הכביש שהזכרתי במשפט הראשון שלי בתשובה זאת, לכיוון הנקודה הכחולה.את ההפרש מוצאים בעזרת המחוגה על ידי הקצאת הקטע הקצר בתוך זה שהנחנו שהוא הארוך.
    לא נוכל למצוא את הפתרון רק עם מחוגה כי כדי לחצות את הישר המחבר את הצהובה לכחולה נדרש גם מחוגה וגם סרגל!

  • דן-1

    תיקון טעות סופרים שלי לפתרון הצריח...

    צריך להקצות כנ"ל רק את מחצית ההפרש בפתרון שכתבתי.(המילה "מחצית" נשמטה לי).
    וזאת סיבה נוספת לכך שנהיה חייבים לעשות שימוש גם בסרגל ולא רק במחוגה.

  • רמי

    פתרון נכון!

    שתי הערות:
    1) לא בכל מצב יש פתרון לחידת תנועת צריח. מתי אין פתרון ?
    2) למעשה כן קיימת דרך (לא פשוטה!) למציאת אמצע קטע באמצעות מחוגה בלבד. ראו למשל במאמר :
    http://kesher-cham.technion.ac.il/clickit_files/files/index/552619713/66...

  • דן-1

    הערות נוספות לרמי

    -לחידת הצריח לא יהיה פתרון אם הפרש המרחקים בין פלפלון-צהובה לבין תפוחון-כחולה שווה למרחק בין הצהובה לכחולה.
    -למעשה כל בעיה שניתן לפתור בסרגל ומחוגה ניתן לפתור במחוגה בלבד.מקרה פרטי הוא חציית קטע כפי שרמי ציין לגבי הפתרון שלי.

  • רמי

    נכון. במחוגה ניתן לבנות כל מה שניתן במחוגה וסרגל.

    התכוונת :
    -לחידת הצריח לא יהיה פתרון אם הפרש המרחקים בין פלפלון-צהובה לבין תפוחון-כחולה גדול ממש מהמרחק בין הצהובה לכחולה.

  • דן-1

  • רמי

    חידת המשך : זוית ישרה

    אותה החידה למעט הדרישה הבאה :
    ... להקים את התחנה בנקודה כלשהי לצד הכביש שבה הזוית בין הקוים הישרים המחברים את התחנה למושבים היא ישרה (90 מעלות).
    :
    :
    - האם תמיד יש פתרון?
    - אם יש פתרון, האם הוא יחיד או שיש מספר פתרונות?

  • דן-1

    פתרון לזוית ישרה

    נחבר את המושבים בקו ישר.נחצה אותו לשניים בעזרת סרגל ומחוגה.קבלנו מרכז של מעגל ששני המושבים נמצאים עליו.
    אם המעגל משיק לישר המחבר את הנקודה הצהובה לנקודה הכחולה,נקודת ההשקה היא הפתרון.
    אם המעגל לא חותך את הישר המחבר את הנקודה הצהובה לכחולה אין פתרון.
    אם המעגל חותך את הישר המחבר את הנקודה הצהובה לכחולה ב-2 נקודות,אלו שני הפתרונות האפשריים.
    הערה:
    אנו מחפשים נקודה שיושבת על קוטר המעגל וזאת זוית היקפית השווה למחצית הזוית המרכזית שהיא קוטר המעגל או 180 מעלות.

  • רמי

    פתרון מושלם!!

    הפתרון נכון ואופטימלי, וההסבר מדוייק.

  • רמי

    חידת המשך : הפרש המרחקים

    אותה החידה למעט הדרישה הבאה :
    ... להקים את התחנה בנקודה כלשהי שהערך המוחלט של הפרש המרחקים שלה ממושב פלפלון וממושב תפוחון יהיה הקטן ביותר האפשרי. (*) במקום הדרישה לסכום המרחקים המינימלי.

  • דוד.ו.

    פתרון.

    יוצרים שני קווי מקבילים
    קו ראשון - פלפלון תפוחון
    קו שני - הראי התחתון השמאלי של פלפלון והראי התחתון הימיני של תפוחון.
    מורידים אנך בעזרת הסרגל מתפוחון לקו המקביל שלו
    ומורידים עוד אנך מפלפלון למקביל שלו.
    יצרנו מלבן .
    מעבירים אלכסונים במלבן ומורידים אנך בין שתי המקבילים שעובר בנקודת חיתוך של האלכסונים .
    הנקודה שבא האנך חוצה את הכביש היא הנקודה שבה צריך לבנות תחתנ דלק.

  • רמי

    פתרון נכון!

    הפתרון שלך נכון ומוביל לנקודה הנכונה על הכביש שבה עליהם להקים את תחנת הדלק. הערה לבניה מנקודה לקו מקביל:
    - כדי להוריד אנך מנקודה לישר, צריך גם סרגל וגם מחוגה.
    - ציטוט מויקיפדיה :
    "בניית אנך לישר דרך נקודה נתונה על הישר או מחוצה לו: משרטטים מעגל שמרכזו הנקודה הנתונה והוא חותך את הישר. האנך האמצעי לקטע שנקודות החיתוך מקצות הוא האנך המבוקש."

  • דוד.ו.

    נסיון שני ואחרון ....

    אותו סיפור כמו מקודם ...
    צריך למצוא היכן יהיה הקודקוד של המשולש , אם המשולש יהיה שווה שוקיים אז הפרש הצלעות יהיה 0 שזה יהיה
    המינימלי שאנו שואפים אליו.
    במשולש שווה שוקיים הזוויות שבבסיס שוות ,לכן הפתרון הנכון צריך להקים את תחנת הדלק בנקודה שהזוויות בה הכי קרובות להיות שוות או שוות.
    עד לכאן הכל יפה רק שלא הצלחתי לעשות זאת ..... מה שכן הצלחתי זה ליצור מלבן שהקודקודים שלו הם:
    פלפלון , הראי של פלפלון מלמטה והראי של שניהם בצד שמאל מתחת תפוחון (דן הוכיח אין לבצע זאת באמצעות סרגל ומחוגה)
    ועכשיו אם נעביר אלכסונים נחלק את הקו(מנקודה צהובה לנקודה כחולה) לחצי ושם הכי קרוב שאפשר לבנות את התחנה שההפרש בערך מוחלט יהיה הכי נמוך...

  • רמי

    אכן נרצה שהזויות יהיו הכי קרובות להיות שוות.

    צדקת ברצונך למשולש שווה שוקיים.
    המלבן שבנית אינו קשור כלל ועיקר למושב תפוחון.
    בניית העזר אמורה להיות תלויה בשני המושבים.

  • דוד.ו.

    הבהרה לרמי

    רמי לא הבנת את קודקודי המלבן ,
    קודקוד א'- מושב פלפלון
    קודקוד ב' ראי של פלפלון מלמטה
    קודקוד ג' - ראי של קודקוד א משמאל(מתחת למושב תפוחון )
    קודקוד ד' - ראי של תחתון של קודקוד ג'(וגם ראי שמאלי של קודקוד ב') אם נעביר אלכסון במלבן הזה הוא חוצה את הכביש בדיוק לשתיים
    (אפשר לעשות מלבן גם מהראים ( ראי ברבים) של פלפלון שהרי אלכסונים במלבן חוצאים את האך לשתיים))

  • רמי

    תודה על ההבהרה, אך כך גם אני הבנתי.

    האלכסון אכן חוצה את הכביש בדיוק לשניים.
    אם תפוחון היה באותו המרחק מהכביש כמו פלפלון, תשובתך היתה נכונה,
    אך אם מסתכלים על המקרה הכללי, אזי אמצע הכביש אינו פתרון טוב.
    מה דעתך על המקרה הקיצוני בו אורך הכביש הנדון יהיה 2 ק"מ (המרחק בין הנקודה הצהובה לנקודה הכחולה), פלפלון רחוק כ 1 ק"מ מהכביש ותפוחון במרחק של כ 100 ק"מ מהכביש . האם גם כאן פתרון המלבן מתייחס לתפוחון? האם אמצע הכביש הוא פתרון סביר?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    הפתרון של רמי

    גם רמי שלח פתרון נכון:
    http://davidson.weizmann.ac.il/sites/davidson.lxst.codeoasis.com/files/i...

  • דוד

    פתרון שונה

    הפתרון שלי מעט שונה משל דן,
    לפי דעתי תחנת הדלק צריכה להיות בנקודה הצהובה , ולא צריך להתשמש במחוגה .
    אם ניצור משולש שהבסיס שלו הוא חפרון ופלפלון ונרצה לבחור לו קודקוד שיהיה על הכביש ,
    בגלל שהכביש בשיפוע לבסיס של המשולש ככל שמתקרבים לנקודה הכחולה עולים בגובה לעומת הבסיס,
    אזיי הגובה הכי נמוך הוא הנקדה הצהובה ,
    אם נחשב שטח משולש כשהבסיס קבוע בכל המשולשים שניצור נגלה שהשטח הכי נמוך יצא לנו במשולש שהקודקוד שלו נימצא בנקודה הצהובה . וכמובן הנקודה הכי רחוקה שאפשר להקים את תחנת הדלק היא בנקודה הכחולה .

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    חשיבה יפה, אבל-

    מה שמצאת זה מהי הנקודה שנבחר כדי שהשטח בין 3 הנקודות יהיה מינימלי, ומה שהתבקשת למצוא זו נקודה שסכום מרחקים ממנה למושבים יהיה מינימלי.

  • דן-1

    פתרון חידת תחנת הדלק מספר 43

    נחבר את הישוב תפוחון לנקודה הכחולה עם הסרגל.נמשיך את הקו הישר המחבר הנ"ל כלפי מטה.
    בעזרת המחוגה נקצה עליו את המרחק בין הישוב תפוחון לנקודה הכחולה.קבלנו למעשה את "נקודת הראי " של הישוב תפוחון הנמצאת מתחת לישר המכיל את הנקודה הכחולה והנקודה הצהובה.בעזרת הסרגל נחבר את "נקודת הראי " אל הישוב פלפלון.קבלנו קו ישר שחותך את הישר העובר בין הנקודה הצהובה לכחולה.
    בנקודת החיתוך יש להקים את תחנת הדלק.
    כל נקודה אחרת על הישר המחבר את הנקודה הצהובה לכחולה, תגרום לסכום מרחקים גדול יותר,כי סכום שתי צלעות במשולש תמיד גדול מהצלע השלישית.המשולש שאני מתכוון אליו הוא המשולש שקודקודין הם: נקודת הראי הנ"ל,הישוב פלפלון,ונקודת אחרת עבור תחנת דלק אפשרית הנמצאת על הישר המחבר את הנקודה הצהובה לכחולה.
    הערות:
    א- ידוע שקרן אור היוצאת מתפוחון ופוגעת בצד הכביש ומוחזרת ממנו עושה את הדרך המינימלית לפלפלון.
    ב- זוית החזרה שווה לזוית הפגיעה ( לפי חוק סנל בפיזיקה).
    ג-ניתן לפתור את הבעיה בעזרת חשבון דיפרנציאלי ע"י מציאת נקודת המנימום ,בעזרת השוואת הנגזרת של פונקציית סכום המרחקים לאפס.
    בברכה
    דן-1

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה