איגור וגיא יושבים סביב שולחן עגול ומשחקים את משחק העיגולים. לאיגור יש עיגולים לבנים ולגיא עיגולים שחורים, כולם באותו הגודל. איגור מתחיל ומניח אחד מהעיגולים הלבנים על השולחן, אחריו גיא מניח אחד מהעיגולים השחורים וכך הלאה. המנצח הוא מי שמניח את העיגול האחרון שעוד נותר מקום בשבילו על השולחן.

מי ינצח? האם יש אסטרטגיה שתביא לניצחון לנצח? האם לאיגור יש יתרון, או שמא דווקא לגיא?

חשיבה נעימה,

סקובידו

אם תרצו לצרף איורים לתשובותיכם תוכלו לשלוח את האיורים הללו אלי ואני אעלה אותם. תוכלו גם לשלוח קישור לדרופבוקס או לגוגל-דוקס.



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

9 תגובות

  • אלון

  • רמי

    הסבר בסיסי לבְּלוֹגָרִיתְמוּס מס' 45

    לפעמים מחפשים תשובה מדוייקת לשאלה. למשל מה ערכו של X אם X+2=5 . כאן התשובה היא X=3.
    וניתן להוכיח ע"י העברת אגפים ומציאת הפתרון.

    לפעמים שואלים האם בכלל יש תשובה לשאלה. למשל : האם יש מספר טבעי X כך ש X*2=5 . והתשובה היא : "לא".
    כדי להוכיח תשובה זו, צריך לכאורה לבדוק את כל המספרים הטבעיים ולהראות שאף אחד מהם לא מתאים (אינסוף מספרים). או להראות כי X היחיד העונה על הדרישה הוא בעל הערך 2.5 שאינו טבעי.

    שיטת הפתרון השניה הנ"ל היא ההבדל בין עבודה אינסופית לפתרון לבין מציאת דרך עקיפה מהירה וסופית לפתרון.

    הבעיה שבבלוגריתמוס :
    היש או אין פתרון במספרים טבעיים למשוואה: x3 + 1000000000 = y3?
    התוכלו לצמצם בעיה זאת לבעיה סופית?

    הגישה לפתרון:
    כדי לפתור הבעיה נצטרך לחפש זוג מספרים טבעיים שיפתרו את הבעיה ע"י שנבדוק את כל המספרים הטבעיים ואז נוכל להסיק שאין פתרון לבעיה אם לא מצאנו זוג כזה.
    כדי להמנע מעבודה אינסופית (למקרה שאין פתרון לבעיה), מחפשים דרך אחרת לפתרון. דרך פתרון סופית.
    למשל אם נרשום את המשוואה כך :
    3^100=Y^3-X^3
    או 3^100=(Y^2+Y*X+X^2 )*( Y-X)
    מספר המחלקים של 3^100 הוא סופי. הכופל השמאלי החיובי מוגבל ע"י הגודל של 3^100 ומזה נגזר שמספר האפשריות עבורו סופי. לכן בפרט מצב זה מצמצם את הבעיה לבעיה סופית. כלומר נוכל לקחת בתור התחלה את Y=100^3 וגם את X=100^3 ולבדוק גם את כל האפשרויות הקטנות מהם עד לערך 1. מספר הזוגות של (X,Y) בשיטה זו הוא אמנם 12^10 , אך הוא עדין סופי!! (מחשב יעשה הבדיקה בכהרף עין).

  • אלון

    תודה רמי,

    3^1000=(Y^2+Y*X+X^2 )*( Y-X)
    הפטרון סופי - אבל כדי לפתור אותו ביד
    צריך לפתור שאלה שאלה? אין איזה נוסחה , נכון?

  • רמי

    אין נוסחה

    בדרך שהצעתי אין נוסחה אחת לקבלת התשובה מיידית.
    צריך לבדוק את כל זוגות הערכים (מספר סופי) אחד אחרי השני עד מציאת פתרון, או עד ווידוא אי קיומו של פתרון.

    בתוכנית מחשב אפשר ליצור שתי לולאות עבור X ועבור Y בתחום הערכים 1 עד 9^10, ולכל זוג מספרים לבדוק אם הצבתם במשוואה שבבעיה תיתן ביטוי אמת.
    אפשר לעשות קיצורי דרך כגון:
    (*) מספיק לבדוק את המקרים בהם Y>X .
    (*) מספיק לבדוק את המקרים בהם Y-X מחלק של 9^10.
    ועוד...

  • רמי

    הגדרת הכללת המשחק ואסטרטגית הנצחון.

    הגדרות :
    מרכז צורה : מרכז המעגל החוסם את הצורה.
    סימטריה סיבובית : אם מסובבים צורה בזוית מסוימת והיא נראית כאילו לא סובבה כלל (האות S ב 180 מעלות למשל).
    סדר של סימטרית סיבוב : מספר האפשרויות השונות (זוויות שונות) של צורה לסימטריה סיבובית (כולל השארתה במקומה). למשל למשולש שווה צלעות יש סימטריה סיבובית מסדר 3 (אי זוגי). זוויות 0, 60, 120.

    חלקי המשחק:
    1) שולחן שלצורת משטחו העליון יש סימטריה סיבובית מסדר זוגי.
    2) מספר זוגי של אבני המשחק (חצי שחורים וחצי לבנים) שצורתם תהיה גם עם התכונה של סימטריה סיבובית מסדר זוגי (לאו דווקא כמו צורת השולחן ולאו דווקא מאותו הסדר).

    אסטרטגיית הניצחון של השחקן הראשון במשחק זה:
    1) השחקן הראשון מניח את אבן המשחק הראשונה שלו במרכז השולחן (מרכז האבן מעל מרכז השולחן). יש לשים את האבן כך שהשילוב שולחן-אבן ישמור על תכונת הסימטריה הסיבובית מסדר זוגי!!!
    2) שחקן שני מניח את האבן שלו היכן שירצה על השולחן . אם אין מקום להניח את האבן, שחקן שני הפסיד. אחרת, המרחק בין מרכז האבן הראשונה שבמרכז השולחן למרכז האבן שהונחה זה עתה הוא X.
    3) השחקן הראשון מניח את האבן הבאה שלו כך שהמרחק בין מרכז האבן של השחקן השני למרכז האבן הבאה שלו יהיה 2X, וקו החיבור הדמיוני ביניהם יעבור דרך מרכז השולחן. הכיוון של האבן יהיה כשל האבן של השחקן השני לאחר שסובבה ב 180 מעלות.
    4) חזור לשלב 2)

  • אלון

    הפתרון שלי שלבים

    שלב ראשון: הצבת עיגול במרכז השולחן
    נחלק את השולחן ל -2, נשארו שני שטחים נניח שאיגור וגיא יכולים
    להשתמש רק בחצי אחד : ראה תמונה
    http://upng.co.il/upload/b1307c9f07.jpg
    אזי איגור וגיא יעשו בדיוק אותה כמות של עיגולים
    באותם מרוחים, בכל צורה סימטרית (מראה למשל)
    ולכן, המתחיל תמיד ינצח.

    שלב שני: בגלל שגיא יכל לבחור להניח בכל מקום
    לכן, בפעם האחרונה יציב במקום שתופס שני מקומות
    מה שבחלק מהמקרים יגרום לאיגור להפסיד.

    שלב שלישי: איגור יציב עיגול במרכז השולחן
    ויציב כל עיגול נוסף בדיוק במקום ההפוך (180 מעלות) לעיגול שגיא מציב מה שלא נותן לגיא אפשרות להציב במקום שתופס שני מקומות
    ולכן, איגור ינצח תמיד
    תמונה :
    http://upng.co.il/upload/60026a39af.jpg

    מסקנה : ראשון מנצח ע"י מירכוז עיגול ראשון והפך מיקומי היריב 180 מעלות בשלבים הבאים !!

  • רמי

    הפתרון שלי

    נגדיר רדיוס השולחן העגול להיות R.
    נגדיר רדיוס עיגולי המשחק להיות r.
    נפרק הבעיה למספר תתים:
    1) אם R 2) אם R=3*r אזי הראשון מנצח ע"י האסטרטגיה הבאה : ראשון מניח עיגול במרכז השולחן, על כל הצבה של עיגול ע"י השני, הראשון שם את העיגול שלו בדיוק בצד השני, בצורה סימטרית.
    3) אם R>3*r אזי נשתמש באותה אסטרטגיה כמו בסעיף 2.

    מסקנה : ראשון מנצח ע"י מירכוז עיגול ראשון וחיקוי מיקומי היריב בשלבים הבאים !!

  • רמי

    משחקים דומים

    אפשר להשתמש באותה אסטרטגיה גם במשחקים הבאים:
    1) שולחן ריבועי עם ריבועי משחק שחור לבן
    2) שולחן ריבועי עם עיגולי משחק שחור לבן
    3) שולחן מלבני עם ריבועי משחק שחור לבן
    4) שולחן מלבני עם עיגולי משחק שחור לבן
    5) נראה לי שהמשחק הכללי יותר יוגדר לשולחן עם צורה סימטרית עם מספר זוגי של צירי סימטריה סיבובית (כמו משושה אך לא מחומש) , עם אבני משחק קטנות סימטריות בעלות מספר זוגי של צירי סימטריה.
    לדוגמא יכול להיות שולחן אליפטי עם אבני משחק בצורת מגן דוד.

  • אלון

    אני חושב שאין אסטרטגיה אייתה ניתן לנצח

    יש אסטרטגיה אייתה לא ניתן להפסיד - לאיגור יש יתרון.
    האסטרטגיה קשורה לשטח העיגול הקטן למרוחים ולשטח העיגול הגדול.

    אני יחשוב אחר כך