בואו נסתכל על כל המספרים שמורכבים רק מהספרה 7, כלומר 7, 77, 777, 7,777, 77,777 וכן הלאה. נבדוק את דפוסי ההתחלקות שלהם.

ספרת היחידות של כל המספרים האלה היא 7, לכן כולם אי זוגיים. לכן אין מספר שמורכב משביעיות בלבד שמתחלק ב-2.

אנחנו גם יודעים שמספר מתחלק ב-5 אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא 0 או 5. לכן אין מספר שמורכב משביעיות בלבד שמתחלק ב-5.

ומה לגבי שאר המספרים הראשוניים?

בואו נבדוק את המספרים הראשוניים הקטנים 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ו-29:

3*259=777

7*11=77

11*7=77

13*59,829=777,777

17*457,516,339,869,281=7,777,777,777,777,777

19*40,935,672,514,619,883=777,777,777,777,777,777

23*338,164,251,207,729,468,599=7,777,777,777,777,777,777,777

29*268,199,233,716,475,095,785,440,613=

7,777,777,777,777,777,777,777,777,777

נשאלת השאלה – האם לכל מספר ראשוני (שאינו 2 או 5) אפשר למצוא מספר שמורכב רק משביעיות שמתחלק בו?

החידה מבוססת על תרגיל שנתן פרופ' נגה אלון בקורס באוניברסיטת תל אביב לפני כמה שנים ועל מאמר של פרופ' רון אהרוני ב"אתגר – גליונות מתמטיקה" (בהוצאת הטכניון ומכון ויצמן) באוקטובר 1985. שימו לב שבקישור יש גם פתרון קצר, כך שעדיף שמי שרוצה לנסות לבד יתאפק בטרם יציץ בחוברת.

אתם מוזמנים לקרוא פתרון מפורט לחידה וללמוד על עקרון מתמטי חשוב.

ארי 



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

8 תגובות

  • רמי

    לכל ראשוני P > 7, קיים P > n , כך ש P מחלק מספר בן n שביעיות

    טענה : לכל ראשוני P הגדול מ 7, קיים P > n , כך ש P מחלק מספר בן n שבעיות.

    הוכחה:
    מספיק להראות כי לכל ראשוני P הגדול מ 5, קיים P > n , כך ש P מחלק מספר בן n אחדות.

    למשל 7 וגם 13 מחלקים את 111111 - 6 ספרות של אחד, 6 קטן מ 7 וגם קטן מ 13 .

    נגדיר פונקציה (f(p,n)=11...11 mod(p כאשר יש n אחדות
    תחום הערכים של f הוא השלמים בין וכולל 0 לבין וכולל (p-1) , מספר סופי של ערכים!
    לכן עבור n=p קיים ערך p>m>0 , כך ש (f(p,m)=f(p,n
    לכן בפרט 0= (f(p,m)-f(p,n
    ונקבל לאחר הצבת הנוסחאות : 0 = (f(p,n)-f(p,m)=11...1100..0 mod(p
    כאשר יש n-m אחדים ו- m אפסים.
    היות p > 5 , אפשר להתעלם מהאפסים (2*5) ולקבל :
    0 = (f(p,n)-f(p,m)=11...11 mod(p עם n-m אחדים. כלומר p-m אחדים.
    היות ו p-m

    מ.ש.ל.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןארי שביב

    כל הכבוד!

    יפה מאוד רמי, פתרונך נכון! כולם מוזמנים לקרוא את הפתרון המפורט עם כל ההסברים.

  • דן-1

    התיחסות נוספת לחידת השביעיות

    כל ספרה שחוזרת על עצמו P-1 פעמים מתחלקת ב-P ללא שארית.וזה נכון לגבי כל P ראשוני שגדול או שווה ל-7.

    השביעיות זה מקרה פרטי....

  • דן-1

    פתרון שביעיות שובבות

    הסדרה 7,77,777,7777 וכ"ו מורכבת ניתנת להצגה ע"י:
    An=ׂ(7/9 )10^n-1 כאשר n =1,2,3,4 וכ"ו.
    (כל איבר כולל את האיבר הקודם פלוס סכום איברי סדרה הנדסית עם איבר ראשון=7 ומנה 10).

    לכל P ראשוני גדול או שווה ל-7 נוכיח קיום של K טבעי המקיים:An/P=K
    עבור:n=P-1
    ׁ(עבור P ראשוני וקטן מ-7 בדקנו.)
    נציב את נוסחת An שמצאנו לעיל נפשט איברים ונקבל:
    9KP=7*ׂ(10^ (P-1)-1)*1
    אגף ימין חייב להסתיים בספרה 3! בגלל מכפלת חזקה של 10 מינוס אחת בספרה 7.
    נניח בשלילה ש-P לא ראשוני.
    אם הוא זוגי ,אגף שמאל גם זוגי ואגף ימין נגמר ב-3.קבלנו סתירה.
    כלומר P אי זוגי ולא ראשוני .
    ולכן P אי זוגי ולא ראשוני כלומר.
    P=C1*C2 כאשר שני הגורמים של P שאינם 1 או P זרים זה לזה לפי המשפט היסודי של האלגברה להצגת כל מספר.
    ושוב אם נבדוק את כל האפשריות לספרה האחרונה של מכפלת C1 ושל C2 (ויש הרבה) נקבל שאגף שמאל לא מסתיים ב-3 עבור הספרה האחרונה.
    שוב הגענו לסתירה להנחה בשלילה ש-P לא ראשוני.
    ולכן P ראשוני.מ.ש.ל.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןארי שביב

    רעיון יפה, אבל צריך לדייק

    התחלת יפה דן, אך שים לב שעליך להוכיח ש-K אכן מספר טבעי, ולא עשית זאת. אין טעם להניח בשלילה ש-p אינו ראשוני, כי אתה מתחיל עם p ראשוני ולא מנסה להוכיח שהוא ראשוני. שים לב אגב לכך שמספר אי זוגי שאינו ראשוני לא חייב להכיל שני גורמים שאינם 1 או הוא עצמו שזרים זה לזה - למשל 9.

  • דן-1

    הערה נוספת לגבי פתרון של דן-1

    נכון שצריך לבדוק גם את המקרה שC1=C2 אבל גם במקרה הזה נקבל סתירה.אגב במקרה כזה יש גם כן לפחות 2 גורמים שאינם זרים זה לזה (המספר 9).

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןארי שביב

    זה לא העיקר

    הנקודה החשובה היא שיש להראות ש-K אכן מספר טבעי. חשוב כיצד לעשות זאת...

  • דן-1

    תיקון טעות :בנוסחה An נשמטו הסוגריים

    הסוגריים שנשמטו כוללות את הבטוי 10 בחזקת n
    מינוס 1.
    בברכה
    דן-1