לפניכם 16 קלפים בארבעה צבעים שונים, ארבעה קלפים בכל צבע. בכל אחד מארבעת הקלפים בצבע מסוים מופיע מספר בין 1 ל-4. אין קלפים זהים, כך שעל כל שני קלפים באותו צבע חייבות להופיע ספרות שונות.

האם אפשר לארגן את 16 הקלפים בריבוע כך שבכל אחת מהשורות ובכל אחד מהטורים יופיעו כל צבע וכל מספר בין 1 ל-4 פעם אחת בדיוק?

אתם מוזמנים לתאר את פתרונותיכם באופן סימבולי או להעלות אותם לגוגל-דוקס או לדרופבוקס ולשלוח לנו את הקישור.

בהצלחה,

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

83 תגובות

  • UBAI

    :)

    R=RED Y=YELLOW B=BLUE G=GREEN

    2R 4Y 3G 1B
    3Y 1R 2B 4G
    1B 3G 4Y 2R
    4G 2B 1R 3Y

  • סקובידו

    קומבינציות כפולות

    אני רואה שמונה קומבינציות פעמיים: R2, Y4, Y3, G4, G3, B1, R1, B2.

  • רמי

    2 פתרונות לאחר סידור

    האם יכול להיות ש 2 הפתרונות שהצגתי ב 07.11.2011 , 18:33 הם הפתרונות הנכונים ?
    להלן 2 הפתרונות מסודרים בשורה הראשונה:

    1)
    1b 2c 3a 4d
    2d 1a 4c 3b
    4a 3d 2b 1c
    3c 4b 1d 2a

    2)
    1a 2c 3d 4b
    3b 4d 1c 2a
    4c 3a 2b 1d
    2d 1b 4a 3c

  • סקובידו

    כן!

    כן – כפי שכתבתי אתמול. כנראה נמחקו הודעות בטעות כשמחקנו ספאם...אני מצטערת.
    לא ממש הבנתי את המשפט האחרון שכתבת מתחת לשני הפתרונות הללו (ב-7.11).
    הפתרונות שלך שקולים לפתרונות שלי בהודעה מה-1.11.2011 בשעה 0:55.

  • רמי

    הערה בהקשר לפתרונות

    ראשית קיבלתי 2 פתרונות שונים בלבד עבור סדוקו מספרים ללא צבעים (עם המספרים 1,2,3 ו 4).
    כמו כן קיבלנו 2 פתרונות שונים בלבד עבור סודוקו הצבעים שהם למעשה הפתרונות של סודוקו המספרים עם הרכבת צבעים עליהם.
    לכן הסקתי כי הצבעים (במקרה זה) לא מוסיפים לפתרון ולא גורעים ממנו. ולכן אין להם חשיבות מבחינה זו.
    אך הצבת הצבעים על הפתרון היא האתגר השני . איך להציבם נכון שישמרו על כללי ההפרדה הצבעית ללא חזרה.
    בסה"כ השילוב בין המספרים והצבעים נראה אתגר יפה.

  • סקובידו

  • רמי

    2 פתרונות בלבד

    למעשה יש 2 פתרונות בלבד. שאר הפתרונות ניתנים לשקילות צבעית :
    1)
    2c 4d 1b 3a
    1a 3b 2d 4c
    3d 1c 4a 2b
    4b 2a 3c 1d

    2)
    2c 1a 4b 3d
    4d 3b 2a 1c
    3a 4c 1d 2b
    1b 2d 3c 4a

    לכן, אם אני צודק, הצבעים לא תרמו לתוספת פתרון, אך לא הפריעו לקיום של 2 פתרונות.

  • סקובידו

    פתרונות בסיסיים

    כיצד ניתן למצוא את שני הפתרונות הבסיסיים?

  • רמי

    4 פתרונות בסיסיים

    אם נסתכל על הקלפים ורק על המספרים שבהם (ללא התייחסות לצבעים), נקבל שני פתרונות.
    נשכפל 2 פתרונות אלה ונחליף את המספרים בצבעים.
    נסובב את הפתרונות הצבועים ב 90 מעלות .
    נקח פתרון מספרי ופתרון צבעי ונשרשר אותם : לכל מספר נצרף את הצבע המתאים לו במשבצת הזהה.

    מספר הפתרונות של שילוב בין הצבעים למספרים יהיה 4 .
    כלומר הפתרונות כנראה יהיו כאלו :

    1)
    2c 4d 1b 3a
    1a 3b 2d 4c
    3d 1c 4a 2b
    4b 2a 3c 1d

    2)
    2c 1a 4b 3d
    4d 3b 2a 1c
    3a 4c 1d 2b
    1b 2d 3c 4a

    3)
    2c 1d 4b 3a
    4a 3b 2d 1c
    3d 4c 1a 2b
    1b 2a 3c 4d

    4)
    2c 4a 1b 3d
    1d 3b 2a 4c
    3a 1c 4d 2b
    4b 2d 3c 1a

  • סקובידו

    פתרונותיך

    הרעיון לקבל פתרון דרך צירוף של שני ריבועים בעלי מאפיין אחד בלבד (מספר או צבע) הוא מצוין, אבל...

    בדרך כלל לא ניתן לקבל את הריבוע השני שאמור "להשלים" את הריבוע הראשון דרך סיבוב של הריבוע הראשון ב-90 מעלות.

    דוגמה: לא ניתן לקבל פתרון דרך צירוף של
    1234
    4123
    3412
    2341
    ו-
    2341
    3412
    4123
    1234
    (הריבוע השני הוא סיבוב של הריבוע הראשון ב-90 מעלות עם כיוון השעון).

    באלכסון יתקבלו פעמיים הזוגות 1,2 ו-1,4!

    החיפוש לריבוע השני ש"מתאים" לריבוע הראשון מסובך יותר ולא תמיד פשוט.

    לגבי פתרונותיך:
    סדר (דרך החלפת טורים) את כל הפתרונות כך שהמספרים בשורה הראשונה יופיעו בסדר 1,2,3,4.

    כך יהיה קל יותר להשוות בין כל הפתרונות.
    תראה שפתרון מס' 1 שקול לפתרון מס' 4 דרך החלפה בין a לבין .d
    פתרון מס' 2 שקול לפתרון מס' 3, גם דרך החלפה בין a לבין d.

  • אלון

  • סקובידו

    העלאת תמונות

    אני מאוד מבקשת לא להעלות תמונות לאתר הישן ("zemed"). האתר הישן ירד בשבוע הבא ולא ניתן יהיה לראות את התמונות. אשתדל להעביר את התמונות שכבר העליתם למקום אחר.
    ניתן להשתמש בדרופבוקס (http://www.dropbox.com)
    או בגוגלדוקס (https://docs.google.com)
    או לשלוח את התמונות אלי (math.circle@weizmann.ac.il) ואני אעלה אותן.
    תודה רבה מראש!

  • אלון

    סוף סוף מצאתי ת'תשובה הנכונה - שלושת התשובות האפשריות

  • סקובידו

    פתרונותיך

    blush

  • סקובידו

    חוץ מזה...

  • אלון

  • אלון

  • אלון

  • אלון

  • אלון

  • אלון

    מצאתי תשיטה אבל לא מצאתי עוד ת'תשובה

    הרעיון פשוט
    יש לנו שתי מספרים
    12 - 13 - 14 - 21 - 23 - 24 - 31- 32 - 34 - 41 - 42 - 43
    זה כל האפשריות

    למשל: בתשובה שלי יש 1234 1243 לכן 12 בוטל
    נשאר
    13 - 14 - 21 - 23 - 24 - 31- 32 - 34 - 41 - 42 - 43

    בסוף ישאר לנו קבוצה של מספרים
    חלק מהמספרים
    1324
    4231
    1423
    3241
    3142
    2413

    ויש לעשות חיבור
    ועם יש תשובה היא פה...

  • סקובידו

    ???

    לא ממש הבנתי... :-(

    למה שיטה זו אמורה לעבוד?

  • אלון

    כי זה עבד

    בזכות השיטה הזו מצאתי שיטה חדשה
    ובזכות השיטה החדשה גיליתי תדרך הנכונה לפתור
    ואז מצאתי ת'תשובה.

    פשוט וקל

  • אלון

    זה כל האפשריות

    1324
    4231

    1423
    3241

    2314
    4132

    2413
    3142

    עכשיו מה שנותר זה לבדוק עם אפשר להרכיב עם הצבעים

  • אלון

  • אלון

    לא נכון זה הראשון - מצאתי שיטה חדשה ואחרונה

    עם היא לא תעבוד אז 100% יש שתי תשובות

  • סקובידו

  • אלון

  • אלון

  • סקובידו

    מצאת שניים....

    פתרון א' שקול לפתרון ג' דרך החלפת שורה אחת והחלפת טור אחד. ראו תמונה:

  • אלון

  • סקובידו

    צבעים

    האם יש חשיבות בצבעים?

  • רמי

    אי תלות בין הצבעים למספרים. יש חשיבות לצבעים.

    אם נסתכל על הקלפים רק על המספרים שבהם ללא התייחסות לצבעים, נקבל שני פתרונות.
    אם נסתכל על הצבעים בלבד נמצא רק שני פתרונות (אפשר להסתכל עליהם גם כמספרים לכל דבר).
    מספר הפתרונות של שילוב בין הצבעים למספרים יהיה 4 .
    כלומר הפתרונות כנראה יהיו כאלו :

    1)
    2b 1a 3d 4c
    4c 3d 1a 2b
    3d 4c 2b 1a
    1a 2b 4c 3d

    2)
    2b 1a 4c 3d
    3d 4c 1a 2b
    4c 3d 2b 1a
    1a 2b 3d 4c

    3)
    2b 1a 3c 4d
    4d 3c 1a 2b
    3c 4d 2b 1a
    1a 2b 4d 3c

    4)
    2b 1a 4d 3c
    3c 4d 1a 2b
    4d 3c 2b 1a
    1a 2b 3c 4d

  • אלון

    רמי

    2b 1a 3c 4d
    4d 3c 1a 2b

    פתרון שלוש לא נכון 4D

    פתרון אחד לא נכון 4C
    2b 1a 3d 4c
    4c 3d 1a 2b

    כל הפתרונות שלך לא נכונים

  • רמי

    תודה. אתה צודק.

    4 הפתרונות שלי לא נכונים.
    אני אחשוב ואתן תשובה טובה יותר.

  • סקובידו

    צבעים ומספרים

    לא נראה לי... פתרון מס' 3 שקול לפתרון מס' 1 ופתרון מס' 4 שקול לפתרון מס' 2. לדעתי מספר הפתרונות עבור הבעיה המקורית (של שילוב בין הצבעים למספרים) הוא 2. כאשר מופיעים מספרים בלבד או צבעים בלבד על הקלפים יש יותר פתרונות, מפני שיש פחות אילוצים.

  • רמי

    איך פתרון 3 שקול לפתרון 1 ?

    לא הבנתי אך שקולים פתרונות 1 ו 3 (וגם פתרונות 2 ו 4 לא ברורה לי שקילותם).
    פתרונות 1 ו 3 זהים במספרים אך שונים בצבעים (אותיות) (וכך גם פתרונות 2 ו 4).
    אילו פעולות שקילות אפשר לעשות כדי לעבור מפתרון 1 לפתרון 3 ?

  • אלון

    מה אתה עושה ?

    A זה תבחר צבע?
    B זה תבחר צבע?
    C זה תבחר צבע?
    D זה תבחר צבע?

  • אלון

  • סקובידו

  • סקובי

    פתרונות בסיסיים

    להלן שני פתרונות בסיסיים (עם אותיות לטיניות במקום צבעים):

    1a 2b 3c 4d
    3d 4c 1b 2a
    2c 1d 4a 3b
    4b 3a 2d 1c

    1a 2b 3c 4d
    4c 3d 2a 1b
    2d 1c 4b 3a
    3b 4a 1d 2c

    האם יש עוד?

  • אלון

  • רמי

    פתרונות בסיסיים שלי

    גם אני קיבלתי שני פתרונות לא שקולים.
    היות ולא חשוב הצבע, להלן המספרים בלבד:
    1)
    2 1 3 4
    4 3 1 2
    3 4 2 1
    1 2 4 3

    2)
    2 1 4 3
    3 4 1 2
    4 3 2 1
    1 2 3 4

    יש שקילות בין תשובה 1 שלי לתשובה שניה שלך ושקילות בין תשובה 2 שלי לתשובה הראשונה שלך.
    כנראה שאין יותר מ 2 פתרונות שונים (במסגרת השקילויות).

  • רמי

    8 הפתרונות הראשונים שלי מתוך ה 141

    פתרון 0 שקול לפתרון הבסיס הראשון , פתרון 2 שקול לפתרון הבסיס השני. האם אחד מהשאר גם שקול לאחד מהם? מה השקילות?

    0)
    2a 4c 1d 3b
    1c 3a 2b 4d
    3d 1b 4a 2c
    4b 2d 3c 1a

    1)
    2a 4d 1c 3b
    1d 3a 2b 4c
    3c 1b 4a 2d
    4b 2c 3d 1a

    2)
    2a 1d 3b 4c
    4d 3a 1c 2b
    1b 2c 4a 3d
    3c 4b 2d 1a

    3)
    2a 1c 3b 4d
    4c 3a 1d 2b
    1b 2d 4a 3c
    3d 4b 2c 1a

    4)
    2a 4b 1d 3c
    1b 3a 2c 4d
    3d 1c 4a 2b
    4c 2d 3b 1a

    5)
    2a 4b 1c 3d
    1b 3a 2d 4c
    3c 1d 4a 2b
    4d 2c 3b 1a

    6)
    2a 1d 4b 3c
    4d 3a 2c 1b
    1c 2b 3d 4a
    3b 4c 1a 2d

    7)
    2a 1c 4b 3d
    4c 3a 2d 1b
    1d 2b 3c 4a
    3b 4d 1a 2c

  • סקובידו

    בינתיים: פתרון מס' 2 שקול לפתרון מס' 0

    פתרון מס' 2 שחלוף של מס' 0 (הפיכת כל שורה לעמודה). בנוסף c->d, d->b, b->c אני צריכה לקחת את הילדים מבית הספר. אבדוק את האחרים אחה"צ.

  • סקובידו

    המשך

    פתרון מס' 3 שקול לפתרון מס' 2 ולכן שקול לפתרון מס' 0: d c
    (נגיד שבפעם הראשונה האות c מסמנת את הצבע ירוק ובפעם השנייה האות d – אין חשיבות בבחירת האותיות.)

    פתרון מס' 4 שקול לפתרון מס' 0. מדוע?

    באופן דומה פתרון מס' 5 שקול לפתרון מס' 0.

    פתרון מס' 6 שחלוף של פתרון מס' 1. בנוסף הוחלפו שני עמודים.

    מה אפשר להגיד על פתרון מס' 7?

  • רמי

    לאיזה צורך קיימים הצבעים?

    אם ניתן לשחלף את הצבעים אזי למעשה החידה דנה ב 4 המספרים 1 2 3 4 וסידורם בריבוע. ועל כן בחידה זו הצבעים רק מפריעים.
    נראה לי כי שימוש בשקילות השיחלוף, היות והיא מעלימה את הצבעים,עוצמת החידה מופחתת .

    בכל מקרה, פתרון 7 משתחלף לו עם פתרון מס' 1 (כי הוא משתחלף עם 6 שמשתחלף עם 1).

  • סקובידו

    צבעים

    האם נוכחות הצבעים משפיעה על מספר הפתרונות?

  • רמי

    צבעים - תשובה

    עם שקילות שיחלוף אין משמעות לצבעים והם לא משפיעים על מספר הפתרונות.
    הצבעים עשויים לבלבל ולהקשות על הגישה לפתרון, וזה יתרונם היחיד : ללמדנו להבחין בין עיקר לטפל בין נתוני שאלה.

  • סקובידו

  • עמודים