את רוחבה של עקומה סגורה, כמו עיגול או אליפסה, אפשר למדוד על ידי מתיחה של שני קווים מקבילים שכל אחד מהם נוגע בעקומה בנקודה אחת בעקומה. לנקודה כזאת קוראים נקודת השקה. רוחב העקומה בכיוון מסוים הוא אורך הקו המקשר בין שתי נקודות ההשקה.
![]() |
העקומה הסגורה המוכרת והפשוטה ביותר היא העיגול. רוחבו של העיגול נקרא גם קוטר וגודלו קבוע בכל כיוון. במחשבה ראשונה נדמה שהעיגול הוא העקומה היחידה שרוחבה קבוע, אולם המחשבה הזאת מנותקת לגמרי מהמציאות! קיימות אינסוף עקומות שונות שרוחבן קבוע. עקומה אחת מפורסמת מהסוג הזה נראית כמעין משולש עקום. את המשולש הזה גילה המהנדס והמתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19 פרנץ ראולאו, ולכן הוא נקרא על שמו: משולש ראולאו.
![]() |
לא מאמינים? נסו למדוד את רוחבו של משולש ראולאו ותיווכחו שאתם אכן מקבלים ערך קבוע. העקומה הזאת מעניינת במיוחד, שכן מכל העקומות בעלות הרוחב הקבוע, שטחה הוא הקטן ביותר.
אפשר לצייר בקלות את משולש ראולאו כך: ציירו משולש שווה צלעות, הניחו מחוגה על אחד מקודקודי המשולש וציירו קשת המחברת בין שני הקודקודים האחרים. כעת חזרו על אותו תהליך עבור כל אחד מקודקודי המשולש. לבסוף תקבלו צורה כזאת:
![]() |
העקומה הסגורה המקיפה את המשולש היא משולש ראולאו.
משולש ראולאו איננו העקומה היחידה שיש לה רוחב קבוע. אפשר לצייר עקומות אחרות בעלות רוחב קבוע בדרך הבאה: ציירו משולש שווה צלעות והמשיכו כל צלע מעבר לקודקוד המשולש באורך קבוע כלשהו. הניחו את המחוגה על אחד הקודקודים במשולש וציירו קשת בין המשכי הצלעות בכל כיוון. חזרו על אותו תהליך עבור שני הקודקודים הנוספים. גם לצורה המתקבלת בדרך זו יהיה רוחב קבוע!
זאת ועוד: במקום להתחיל במשולשים שווי צלעות אפשר להשתמש גם בכוכבים בעלי מספר אי-זוגי כלשהו של צלעות שוות אורך (למשל כוכב מחומש), ובאותה שיטה של הארכת הצלעות תוכלו לקבל עוד ועוד צורות שרוחבן קבוע.
אחת העובדות המעניינות היא שלכל העקומות בעלות הרוחב הקבוע יש אותו היקף: היקף עקומה בעלת רוחב קבוע שווה לרוחב כפול פיי (פיי = ...3.14159). זהו משפט ברביאר, הקרוי על שם המתמטיקאי ג'וזף אמיל ברביאר.
המכונאי האנגלי הנרי ואטס מצא שימוש מעשי לעקומות בעלות רוחב קבוע: הוא יצר לפי המשולש של ראולאו מקדחה שמסוגלת לקדוח חורים מרובעים, שכן אם מסובבים משולש ראולאו בתוך ריבוע החוסם אותו הוא יכסה כמעט את כל שטח הריבוע (98.77 אחוז).
אז מי אמר שלא יפה להיות עקום?
החידה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.
יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.