משה ודוד רוצים לחלוק יחד פיצה חמה וטעימה. הדרך המקובלת, שמוצגת בתמונה למטה, היא לחתוך אותה לפרוסות (שאנחנו נכנה "משולשים"), למשל שמונה, כך שהקודקוד המשותף של כל המשולשים נמצא במרכז הפיצה וזוויות כל המשולשים שוות. כך יוצא ששטח כל המשולשים שווה, ואם כל אחד ייקח ארבעה משולשי פיצה הוא יאכל בדיוק חצי ממנה.


תמונה: שאטרשטוק

אך מה קורה אם החיתוך נעשה כך שזוויות משולשי הפיצה זהות אך נקודת המפגש של המשולשים אינה במרכז, כמו באיור הבא?

אל דאגה, משפט מתמטי, שמכונה לפעמים "משפט הפיצה", מבטיח דרך פשוטה להתחלק בפיצה באופן שווה. לפי המשפט, אם משה ודוד יאכלו את המשולשים לסירוגין, כלומר אחד מהם יאכל את כל המשולשים הצהובים והשני את הסגולים, כמות הפיצה שיאכל כל אחד מהם תהיה שווה. אפשר להוכיח את המשפט באמצעות חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באופן רגורוזי (הוכחה מדויקת, כמו שמתמטיקאים אוהבים), אך גם האיור הבא מספיק כדי להשתכנע שהחלוקה אכן תהיה שווה בכל חלוקה של הפיצה לשמונה פרוסות שוות זווית.


תרשים: mcqD, ויקיפדיה

לכל שני שטחים שצבועים באותו צבע יש שטח זהה וצורה זהה, וכל אחד מהם נמצא במשולש אחר – חציים במשולשים של משה וחציים באלה של דוד. משה יקבל את הפרוסות המסומנות באותיות גדולות ודוד את הפרוסות המסומנות באותיות קטנות, ובסך הכול יקבל כל אחד מהם שטח שווה. מי שמתעניין איך מגיעים להוכחה זו יכול לקרוא את ההסבר בספר הזה, החל מעמוד 117.

גרסאות שונות של חיתוכי פיצה
למשפט הזה יש הרחבות רבות. הוא נכון גם בחלוקה למספר גדול יותר של משולשים (כל עוד הזוויות שוות), בתנאי שמספר המשולשים הכולל מתחלק בארבע (8, 12, 16, 20 וכו'). האיור שלמטה מראה חלוקה ל-12 משולשים, כך שהשטח הצבוע ירוק שווה לשטח הכתום.


תרשים: Kmhkmh, ויקיפדיה

לפי הרחבה נוספת של המשפט, אם הפיצה נחתכה ל-4n משולשים, n אנשים יכולים לחלוק אותה ביניהם באופן שווה אם יקחו את המשולשים לסירוגין. לדוגמה, אם שלושה אנשים ירצו לחלוק את הפיצה מהציור למעלה, הם יוכלו לעשות זאת כך:

לפי המשפט, השטח הכחול שווה לשטח הצהוב והם שווים גם לשטח הירוק.

משפטי קיום לכריכים ולפנקייקים
יש משפטים מתמטיים דומים שדנים למשל בחיתוך כריכים. נניח שיש לנו כריך גבינה שמורכב מפרוסת לחם, פרוסת גבינה ופרוסת עגבנייה. כידוע, לכל אחד מהרכיבים יש צורה אחרת ובכריך שלנו הם מונחים בתצורה כלשהי זה על גבי זה. אנחנו רוצים לחתוך את הכריך לשני חלקים באמצעות חיתוך סכין אחד, כך שבכל אחד מהחלקים תהיה כמות שווה של לחם, כמות שווה של גבינה וכמות שווה של עגבנייה. משפט מתמטי מבטיח לנו שאפשר באמצעות חיתוך אחד ויחיד לחתוך את הכריך בצורה כזו, ולא משנה מה צורת הרכיבים ואיך הם מונחים זה על זה.


תמונה: שאטרשטוק

דוגמה אחרת היא שני פנקייקים המונחים על צלחת. על פנקייק אחד מרחנו רוטב שוקולד מפנק ואת השני כיסינו ברוטב פירות יער מפנק לא פחות. אנחנו רוצים לחלק את הפנקייקים באמצעות חיתוך ישר אחד כך שיתקבלו שני חלקים שווים של פנקייק שוקולד, ושני חלקים שווים של פנקייק פירות יער. אם שני הפנקייקים עגולים (אבל לאו דווקא באותו הגודל) קל לראות שאפשר לחלק אותם באמצעות חיתוך שיעבור דרך שני המרכזים (כמו בציור מטה).

אך מה יהיה אם הבלילה נשפכה לנו על המחבת בצורה לא סימטרית ויצאו לנו שני פנקייקים בצורות מוזרות? איפה נעביר עכשיו את הסכין? גם כאן קיים משפט מתמטי שמבטיח לנו שנוכל בחיתוך אחד ויחיד לחלק את הפנקייקים, כך שנקבל שתי חתיכות שוות של פנקייק שוקולד ושתיים שוות של פנקייק פירות יער. לצערנו המשפט לא אומר לנו איך למצוא את החיתוך הזה אלא רק מבטיח שהדרך הזאת קיימת.

משפט סטון-טוקיי
המשפטים שמבטיחים לנו חיתוך יחיד של הכריך וחיתוך יחיד של הפנקייקים הם למעשה דוגמאות פרטיות של אותו משפט בדיוק, שמכונה משפט סטון-טוקיי. המשפט הזה, השייך לתחום מתמטי שנקרא "תורת המידה", מבטיח לנו שבהינתן n גופים "מדידים" במרחב n-ממדי, קיים "על-מישור" מממד 1-n (חיתוך יחיד באמצעות סכין) שמחלק כל אחד מהגופים לשני חלקים שווי נפח. במקרה של הכריך יש לנו שלושה גופים במרחב התלת-ממדי (פרוסת לחם, פרוסת גבינה ופרוסת עגבנייה), ואילו עם הפנקייקים יש לנו שני גופים במרחב דו-ממדי (שני פנקייקים דקים על צלחת).

אז מה הקשר בין המקרים?
ראינו שלוש דוגמאות שונות מאוד זו מזו לשימוש במתמטיקה לחלוקת אוכל. ראשית, כאשר חילקנו פיצה לשמונה משולשים שווי גודל (כשהקודקוד המשותף במרכז) נדרשנו רק לדעת שאם כל אחד ייקח ארבעה משולשים הוא יקבל מחצית מהפיצה, כלומר לבצע את התרגיל הקל $4*\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.

לאחר מכן, כשחילקנו את הפיצה לשמונה משולשים בלי שהקודקוד היה במרכז השתמשנו במשפט מתמטי מסובך יותר שהבטיח לנו שסכום השטחים אם ניקח את המשולשים לסירוגין יהיה שווה.

לבסוף, כשרצינו לחלק את הפנקייקים או את הכריך, כך שכל אחד יחולק לשני חלקים שווים, ידענו שיש דרך לבצע את זה בחיתוך אחד ויחיד באמצעות משפט סטון-טוקיי, אך המשפט לא סיפר לנו איך בדיוק עלינו לחתוך את האוכל. משפט כזה, שמבטיח לנו שהחיתוך שאנחנו מבקשים קיים אך לא אומר לנו איך למצוא אותו, נקרא משפט לא קונסטרוקטיבי (לא מבני). משפט הפיצה, לעומת זאת, אמר לנו שיש דרך לחלק את המשולשים וגם גילה לנו במפורש איך לעשות את זה.

שלוש הדוגמאות משקפות שלוש רמות של הפשטה מתמטית. ברמה הפשוטה ביותר לומדים לבצע תרגילים קונקרטיים וקלים להבנה ולניסוח ($4*\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$); בהמשך מצליחים לחשב דברים מסובכים יותר, אך שעדיין אפשר להמחיש אותם ("אם נחלק את המשולשים לסירוגין, השטח שיקבל כל אחד יהיה שווה"). וברמה המורכבת ביותר כבר מנסחים ומוכיחים משפטים קשים ומופשטים יותר, שכוללים ניסוחים כמו "קיים חיתוך", ויודעים להוכיח ולהבין אותם גם בלי למצוא במפורש את החיתוך הזה.

ולסיום, חידה
במשפט הפיצה ראינו שאם ניקח שמונה משולשי פיצה בעלי זוויות שוות שנחתכו כך שקודקודם המשותף לא במרכז ונחלק אותם לסירוגין לשני אנשים, כל אחד מהם יקבל בסך הכול שטח שווה של פיצה. נסו להשתמש במשפט הזה כדי להוכיח את משפט "הקצה הקשה של הפיצה": הוכיחו שבמצב הזה כל אחד מהם יקבל גם כמות שווה של "הקשה של הפיצה", אותם שוליים תפוחים ונהדרים. אתם מוזמנים לשתף את פתרונותיכם בתגובות למטה.

עוד על חיתוך מזון (הפעם עוגות!) בסרטון הזה.

ארי שביב
הפקולטה למתמטיקה ומדעי המחשב
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

תגובה אחת

  • אלי

    אם לסך זוויות הראש של

    אם לסך זוויות הראש של המשולשים יש 180 מעלות אורך ההיקף הינו מחצית,