מרתק לגלות את הקשרים בין התחומים השונים במתמטיקה, שלעתים קשה לנו לראות את הקשר ביניהם במבט ראשון. מרתק גם לגלות איך המתמטיקה מופיעה בטבע ואיזה שימוש עושים בה בני האדם בתחומים שונים.

לאונרדו פיבונצ'י  (1250-1170) היה מתמטיקאי איטלקי שהשפיע מאוד על המתמטיקה המערבית ולעבודתו יש יישומים רבים ומגוונים. אחת מתרומותיו המפורסמות למתמטיקה היא סדרת מספרים הנקראת על שמו, "סדרת פיבונצ'י", שבה כל מספר בסדרה הוא סכום של שני המספרים הקודמים לו. על מקורה של הסדרה ועל חלק מתכונותיה כבר נכתב בעבר במדור, אך יש לה עוד תכונות מעניינות רבות שבהן נדון כעת.


לאונרדו פיבונצ'י | תמונה: ויקיפדיה. יוצר בלתי ידוע

סדרת פיבונצ'י היא סדרה רקורסיבית (סדרה שבה האיבר ה-$n$ נקבע על סמך איברים קודמים), המוגדרת על ידי כלל הנסיגה הבא:  $F_{\;n}=F_{\;n-1}\;+\;F_{\;n-2}$, כש- $F_\;n$ הוא איבר במקום ה-$n$ בסדרה. הנוסחה מתאימה כאשר $n>2$, ולכן נהוג להגדיר את  $F_\;1$ ו - $F_\;2$ כ-0 ו-1 בהתאמה.

היחס בין איברים עוקבים של הסדרה

לאיברי הסדרה, הנקראים "מספרי פיבונצ'י", יש כמה תכונות מעניינות. אחת מהן קשורה ליחס בין איברים עוקבים של הסדרה, כלומר למנה $\dfrac{F_\;n}{F_{\;n-1}}$. אם מסתכלים על הגבול של המנה הזו   $\lim_{\; n\to\infty\;}{\;\dfrac{F_n}{F_{n-1}}}$ (כלומר, לאיזה מספר המנה מתקרבת כש-$n$ שואף לאינסוף), מקבלים מספר אי-רציונלי: $\dfrac{1+\sqrt{\;5\;}}{2}\;$. המספר הזה מכונה "יחס הזהב" או "מספר הזהב" ונהוג לסמנו באות היוונית פִי (פ' רפה) שסימנה $\phi$.

המתמטיקאי הגרמני יוהנס קפלר (1630-1571) הוא שגילה את הגבול של הסדרה, אך המספר עצמו התגלה עוד ביוון העתיקה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס.

גבול הסדרה הוא אמנם "מספר הזהב", אך אין איבר בסדרה שהמנה שלו ושל האיבר העוקב לו תיתן בדיוק את "מספר הזהב". מדוע? מכיוון שבעוד מספרי פיבונצ'י הם מספרים שלמים, ולכן המנה שלהם היא מספר רציונלי, "מספר הזהב" הוא מספר אי-רציונלי. עם זאת אפשר להגיע לקירוב טוב של "מספר הזהב" כבר בתחילת הסדרה: באיבר ה-16 הדיוק מגיע לרמה של חמש ספרות אחרי הנקודה העשרונית:  $\dfrac{F_{\;16}}{F_{\;15}}=1.61803$.

"מספר הזהב" התגלה כאמור עוד ביוון העתיקה, ומאז הוא מסקרן רבים מתחומי המדע, המתמטיקה ואף האמנות והאדריכלות. אחד הדברים המעניינים לגביו הוא שהוא צץ ומופיע בתחומים שונים במתמטיקה. ראינו כבר שהוא הופיע בהקשר של סדרות, ועתה נראה קישורים שלו לגיאומטריה, לאלגברה ולסדרות נוספות.

"מלבן הזהב"

כדי לראות את "מספר הזהב" בגיאומטריה נחזור תחילה ל"מספרי פיבונצ'י". לכל אחד מהמספרים (פרט למספר הראשון, 0) נתאים ריבוע. כלומר, לאיבר ה-$n$ בסדרה נתאים ריבוע שצלעו באורך $n$ ס"מ וניצור סדרת ריבועים. 


סדרת הריבועים שצלעותיהם באורך של "מספרי פיבונצ'י" | תרשים: ויקיפדיה

נחבר את הריבועים בדרך הבאה: את שני הריבועים הראשונים, שאורך צלעם 1 ס"מ, נשים זה ליד זה. הם יוצרים יחד מלבן שגודלו $1\times2$, ולכן ניתן לחבר את הריבוע שאורך צלעו הארוכה 2 ס"מ. נמשיך כך הלאה, כך שכל ריבוע באורך צלע $n$ מתחבר לאורך המלבן שנוצר על ידי ריבועים שאורך צלעותיהם $n-1$ ו-$n-2$. המלבן שמתקבל נראה כך בתחילת הבנייה:


"מלבן הזהב" בתחילת הבנייה | תרשים: ויקיפדיה

אם נסתכל על היחס בין צלעותיו של כל מלבן בכל שלב של הבנייה, נגלה שזה בדיוק היחס של איברים עוקבים בסדרת פיבונצ'י, ולכן היחס בין צלעות המלבנים שנוצרים שואף גם הוא ל"מספר הזהב". מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב נקרא "מלבן הזהב" והוא נחשב המלבן האידיאלי מבחינה אסתטית. בעולם היווני השתמשו במידותיו של המלבן הזה בתכנון מבנים, לדוגמה, בפרתנון שבאתונה, וכך עשו גם באדריכלות המוסלמית של ימי הביניים. יש הטוענים שהשימוש במידות אלו נעשה גם בפירמידה הגדולה של גיזה במצרים. הוא מופיע גם ביצירות אמנות רבות מימי הרנסנס, אז הקפידו אמנים רבים להשתמש בפרופורציות האלו בציוריהם.


הפרתנון באתונה עם שרטוט של "מלבן הזהב" להמחשה | תמונה ותרשים: Wpopp, ויקיפדיה

את "מלבן הזהב" אפשר למצוא גם בטבע. בכל אחד מהריבועים המרכיבים את המלבן נשרטט רבע מעגל המשיק לשתי צלעות סמוכות. החיבור בין רבעי המעגלים יוצר את הספירלה הבאה, שנקראת "ספירלת פיבונצ'י":


"ספירלת פיבונצ'י" | תרשים: Dicklyon, ויקיפדיה

מתברר שספירלות רבות בטבע דומות לספירלה הזו, לדוגמה בקונכיות של חלזונות רבים, באצטרובלים או בפרחים שבהם הגרעינים מסודרים בספירלות פיבונצ'י. 


מין של צמח האלוורה | תמונה: Just Chaos, ויקיפדיה


פרח החמניה | תמונה: L. Shyamal, ויקיפדיה

"יחס קיצוני וממוצע"

נחזור אל עולם המתמטיקה. אפשר להגיע אל "מספר הזהב" גם מכיוון נוסף, המשלב כלים גיאומטריים ואלגבריים: נסתכל על קו ישר AB ונחפש נקודה C שתחלק אותו כך שיתקיים: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AC}{BC}$.

אם יתקיים יחס כזה, נאמר שהנקודה C מחלקת את הקטע ב"יחס הזהב". 

כדי למצוא נקודה כזו אנו יכולים להשתמש בכלים אלגבריים. נסמן את הקטע AB כיחידת אורך 1, ואת$\dfrac{AB}{AC}\;\;$ נסמן ב - $x$. מכיוון שסכום אורכי AC ו-BC שווים לאורך של AB, שהוא 1, נקבל: $BC=1-\dfrac{1}{x}$.  לכן היחס בין הקטעים הוא "יחס הזהב", אם מתקיימת המשוואה הבאה: $x= \dfrac{\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$כלומר: $x=\dfrac{1}{x-1}$ המשוואה הזו שקולה למשוואה הריבועית $x^2-x-1=0$, שפתרונותיה הם: $x= \dfrac{1\pm \sqrt{\;5\;}}{2}$. הפתרון החיובי של המשוואה הוא "מספר הזהב".

המתמטיקאי היווני אוקלידס הציע את ההגדרה הבאה: "קו ישר יתואר כאילו נחתך ביחס קיצוני וממוצע אם (יחס) הקו כולו כלפי הקטע הגדול הוא כ(יחס) הגדול כלפי הקטן".

מאלגברה לסדרות

נשתמש עתה בכלים האלגבריים שתיארנו כדי לחזור לעולם הסדרות. ראינו ש"מספר הזהב" שסימנו ב-$\phi$, הוא הפתרון החיובי של המשוואה $x^{\tiny 2}-x-1=0$אנו יודעים אם כך שהמשוואה $\phi^{\tiny 2}-\phi-1=0$ נכונה, ולכן אפשר לעשות עליה כל מיני פעולות. 

אפשרות אחת היא להוציא שורש ריבועי משני האגפים. נקבל:  $\phi= \sqrt{\;\phi+1\phantom{xx}}= \sqrt{\;1+\phi\phantom{xx}\;}$ 

אפשר להמשיך ולהציב פעם אחר פעם את הביטוי. כך נקבל את הביטוי הבא: 

אפשר לייצג את הנוסחה האלגברית הזו בסדרה רקורסיבית:

$a_{\;1} = 1$

$a_{\;n+1} = \sqrt{\;1+a_n\quad\;\;}$

זוהי סדרה עולה וחסומה (על ידי 2, למשל). אפשר להוכיח שגבול הסדרה הוא "מספר הזהב".

אפשרות נוספת היא לחזור למשוואה הריבועית ולחלק את שני האגפים ב-$\phi$ (שהוא כמובן שונה מאפס ולכן מותר לנו לעשות זאת). נקבל: $\phi= 1+ \dfrac{1}{\phi}$.

גם כאן, נמשיך ונעשה הצבה חוזרת. נקבל את הביטוי:

$\phi= 1+ \dfrac{1}{\phi}= 1+ \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{\phi}}= 1+ \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{\phi}}}$

ניתן עתה להגדיר את הסדרה הרקורסיבית הבאה, שגם גבולה יהיה "מספר הזהב":

$b_{\;1} = 1$

$b_{\;n+1} = 1+\dfrac{1}{b_\;n}$

שברים מהצורה הזו נקראים "שלבים משולבים" ויש להם חשיבות רבה בתחום תורת המספרים ובתחום האנליזה הנומרית, שם הם משמשים לקירוב של קבועים ולפונקציות שונות.

שימו לב שמהמשוואה $\phi^{\tiny 2}-\phi-1=0$ קיבלנו שתי תכונות של $\phi$: האחת היא שהריבוע שלו שווה לעצמו ועוד אחד, כלומר: $\phi^{\tiny 2}=\phi+1$, והשנייה היא שההופכי שלו שווה לעצמו פחות 1, כלומר:  $\phi - 1 = \dfrac{1}{\phi}$

ראינו כמה שימושים בסדרת פיבונצ'י וב"מספר הזהב", הכרוכים זה בזה. מה נפלא לדעת שיש עוד מה לראות, בעולם המתמטיקה ומחוץ לו. 

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

7 תגובות

  • מנשה

    הוכחה פשוטה שיחס הזהב אינו רציונלי

    האם ניתן להניח שקימים 2 מספרים טבעיים שהמנה המצומצמת שלהם היא יחס הזהב ולהראות שזה מביא לסתירה למשל שהם לא מצומצמים? תודה

  • עומר

    כל סדרה בעלת אותם המאפיינים של פיבואנאצ'י

    תקיים Fn/Fn-1 --> יחס הזהב ככל ש-n גדול, אני יכול לבחור סתם שני מספרים, e ו-π האיבר ה-8 יהיה 8e+13π האיבר ה-9 13e+21π אם אני אחלק אותם, אני אקבל 1.6187255.
    קיימת סדרת לוקאס, שעובדת באותה הצורה כמו סדרת פיבונאנצ'י ומתחילה ב-2,1. 2,1,3,4,7,11,18,29...
    למעשה לכל איבר בסדרה φ^n שווה בקירוב ל-Fn.
    φ^10 =122.9918694 ואילו F10=123

  • עוזי דודזדה

    מציאת זווית הזהב

    קיבלתי עבודה למדוד את זווית הזהב בחמניה או באובייקט כלשהו בטבע שיש בו את זווית הזהב. אני מבין את המהות אך לא ממש יודע איפה נמצאת הזווית. (זה לא מעגל). אשמח לקבל סיוע. תודה

  • בוריס

    טעות בטקסט

    בחלק "יחס קיצוני וממוצע", כתוב "...ואת AC/AB נסמן ב - x...."

    צריך להיות AB/AC (הפוך).

    :)

    שבוע טוב

  • יעל נוריק

    תודה!

    תוקן :)

  • דן-1

    היחס בין איברים עוקבים של הסדרה

    נאמר בכתבה שהיחס בין איברים עוקבים בסדרת פיבונאצי שואף ל- PHI.
    כדאי לציין שהיחס בין עוקבים פעם נמצא מעליו ופעם נמצא מתחתיו!

    כדאי גם לציין שמהגדרת PHI נובע שהריבוע שלו שווה בדיוק לעצמו פלוס אחד.וכן שההופכי שלו שווה לעצמו פחות אחד.

    נוסחת בינט לאיבר הכללי בטור פיבונאצי שלא הובאה בכתבה היא פונקציה של PHI.

  • יעל נוריק

    התייחסות להערות

    בקשר להערה השניה, בחלק האחרון של הכתבה התייחסנו למשוואה ממנה נובעים שני הדברים שציינת לגבי PHI, את הקשר להופכי הצגנו באמצעות סדרות, מצטערת אם לא הובן במפורש.