לאחרונה נתקלנו באתר אינטרנט מפתיע מעט. היה זה האתר הרשמי של הארגון הדוזנלי של אמריקה (The Dozenal Society of America). בעברית אולי היינו מכנים אותו "הארגון התריסרי".
באתר מוצגת מטרתם המוצהרת של חברי הארגון: לנסות לשכנע את הרשויות לשנות את שיטת הספירה המקובלת מהשיטה העשרונית לשיטה המבוססת על בסיס 12. נרענן לרגע את זיכרוננו: בשיטה העשרונית יש עשר ספרות ומספר הנכתב בשיטה העשרונית מכונה מספר בבסיס 10. כל מספר שנכתב בבסיס 10 אפשר לפרק לסכום של מחוברים כך שכל מחובר הוא מכפלה של ספרה בחזקה המתאימה של 10 (בסדר עולה). המספר 1,121 בשיטה העשרונית מסומן: 1,12110, והמספר הזה שווה ל-1*103 + 1*102 + 2*101 + 1*100 = 1,121
מספר שבסיסו אינו מסומן, כמו המספר 1,121 שבתוצאה, מציין את הערך לפי בסיס 10. בבסיס אחר, המחוברים הם מכפלות של הספרות בחזקה המתאימה של הבסיס. אם מופיע המספר 1,121 בבסיס 3, ערכו שווה למה שבבסיס 10 היינו מציינים במספר 43:
1,1213 = 1*33 + 1*32 + 2*31 + 1*30 = 43, ובבסיס 12 אותו מספר 1,121 שווה למה שבבסיס 10 היינו מציינים כ-1,897: 1,12112 = 1*123 + 1*122 + 2*121 + 1*120 = 1,897.
הארגון הדוזנלי, כאמור, מציע לעבור לשיטה המבוססת על בסיס 12. בשיטת הספירה המוצעת, במקום עשר ספרות יהיו שתים-עשרה ספרות וסימנים חדשים יוקצו למספרים 10 ו-11, למשל:χ = 10, є=11. המספר 22 בבסיס זה ייכתב כך: 22=1χ12.
חברי הארגון מספקים שלל נימוקים, חלקם משכנעים למדי, לכך שמהלך כזה יכול להקל את חיי היומיום. בין השאר הם משבחים את תכונותיו של המספר 12 משום שהוא מתחלק בשלמות ל-2, 3, 4, ו-6, בניגוד ל-10 המתחלק רק ב-2 וב-5. הם גם מציינים שהשימוש במספר 12 כיחידת מנייה של משהו שלם עדיין נפוץ למדי, בעיקר במדידות של זמנים: ישנם 12 חודשים בשנה ופעמיים 12 שעות ביממה.במעגל יש 360 מעלות, שהן שלושים פעמים 12, מעין פשרה בין השיטה העשרונית לשיטה התריסרית.
אפשר לראות בבירור את היתרון במקרה הזה אם נשווה מעגל המחולק ל-12 זוויות עם מעגל המחולק לעשר זוויות. כשמעגל מחולק ל-10 זוויות, הזוויות של רבע, שליש ושישית מעגל כולם שברים, בעוד שבמעגל המחולק ל-12, הזוויות האלה הן מספרים שלמים. בעבר, בחלק מהתרבויות היו נהוגות מידות פיסיקליות שונות, כמו אורך ומשקל, המבוססות דווקא על בסיס 12, ועד היום אפשר לקנות ביצים בתבניות של 12 יחידות.
גם אם לא ממש השתכנענו מנימוקיו של הארגון הדוזנלי, עדיין ראוי להגות מעט ברעיון המציע להשתמש בבסיס הנוח ביותר לחישוב הספציפי שאנחנו רוצים לבצע.
הרעיון הזה מבוצע הלכה למעשה במחשב, שבו כל הפעולות מבוצעות בשיטה הבינארית – בבסיס 2. באותו אופן קיימים שימושים גם לבסיס הטרנרי (בסיס 3). בין השאר נשקל הרעיון לפתח מחשב הפועל על בסיס 3, שבו ייעשה שימוש בשלושה מצבים שונים של המעגלים החשמליים הפנימיים: מצב של זרם חיובי (זרם בכיוון אחד), מצב של זרם שלילי (זרם בכיוון האחר) ומצב שאין בו זרם כלל. לשיטה הזו יש יתרונות רבים. במחשבים ובאלקטרוניקה נעשה שימוש גם בבסיס האוקטלי (בסיס 8) ובבסיס ההקסדצימלי (בסיס 16).
ארץ הפלאות של המספרים
לא רק מתמטיקאים השתעשעו בבסיסים. גם סופרים ידועים הרהרו לא פעם באפשרות הטמונות בשיטות ספירה נוספות, ביניהם הסופר המפורסם והמצוין ג'.ר.ר טולקין, שכתב את טרילוגיית "שר הטבעות". טולקין, שהיה בלשן במקצועו, המציא לגזעים השונים בספריו שפות חדשות. אחת השפות הללו היא השפה "קווניה" שבה דוברים חלק מבני גזע האלפים (בני לילית) ושיטת הספירה של דובריה היא לפי בסיס 12.
סופר ידוע נוסף שהשתעשע בבסיסים היה לואיס קרול, מחבר "אליס בארץ הפלאות", שהיה ידוע גם בשעשועים המתמטיים הרבים שלו. ב"אליס בארץ הפלאות" אליס בודקת את שפיותה אחרי שנפל דרך בור הארנב לארץ הפלאות:
"אנסה לבדוק אם אני יודעת את כל הדברים שידעתי פעם. רגע אחד: ארבע כפול חמש הם שתים-עשרה, וארבע כפול שש הם שלוש-עשרה, וארבע כפול שבע הם – אוי ואבוי! בקצב כזה לעולם לא אגיע עד עשרים!" מתמטיקאים שיערו שקרול בעצם מתייחס כאן לסדרה של תרגילי חשבון בבסיסים שונים, עם חוקיות מסוימת.
סדרת התרגילים היא:
4*5=12 בבסיס 18
4*6=13 בבסיס 21
4*7=14 בבסיס 24
4*8=15 בבסיס 27
4*9=16 בבסיס 30
4*(10)=17 בבסיס 33
4*(11)=18 בבסיס 36
4*(12)=19 בבסיס 39
הערה: המספרים המסומנים בסוגריים הם ספרות יחידות בבסיסים גבוהים.
שימו לב לחוקיות המעניינת בבסיסים (הגדלים בשלוש בכל תרגיל), בכופלים ובתוצאות התרגילים. לפי החוקיות הזו, התשובה לשאלה "באיזה בסיס 4*(13)=20" אמורה להיות בסיס 42, אבל מתברר שהתשובה הזו איננה נכונה! זאת הסיבה שאליס לעולם לא תגיע עד עשרים!
ככל שמתמטיקאים הוסיפו להתעמק בבסיסים הם הלכו וגילו עולם מתמטי מרתק. בין השאר, ההגדרה של בסיס הורחבה כך שתכלול גם בסיסים שליליים, בסיסים שבורים ובסיסים נוספים כמו בסיס עצרת ובסיס ראשוני, ששניהם אינם חזקות של מספרים שלמים. כך שבין שאתם מצדדים בהצעתו של הארגון הדוזנלי ובין שאינה נראית בעיניכם, העיסוק במתמטיקה בבסיסים שונים מבטיח לכם שעות רבות של הנאה מתמטית. אנחנו הגשנו לכם כאן רק מתאבן.
הכתבה ראתה אור לראשונה בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.
יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
