בתקופה האחרונה הולך וגובר העניין בבעיות הנקראות בעיות "אריזה". בעיה טיפוסית מהסוג הזה נראית כך: נתון מספר כלשהו של צורות זהות. מה יהיו המידות המינימליות של צורה נתונה גדולה יותר המכילה (אורזת) את כל אותן הצורות הזהות הנתונות? בבעיות אריזה רבות מתבקש הפותר גם להציג את האריזה האופטימלית.
הנה דוגמה לבעיית אריזה: מה יהיה אורך הצלע של המשולש שווה הצלעות הקטן ביותר שבו אורזים שני ריבועים שאורך צלעותיהם הוא יחידה אחת, ואיך תיראה האריזה?
אפשר להוכיח שאורך הצלע של משולש כזה הוא: 
, והאריזה עצמה נראית כך:
בעיות אריזה אינן מוגבלות לצורות שבדוגמה הזו. אפשר למשל לשאול מהי האריזה האופטימלית של עיגולים המוכלים בתוך מלבנים, מחומשים בתוך משולשים וכן הלאה. האפשרויות אינסופיות. זאת ועוד, בעיות אריזה אינן מוגבלות לצורות דו-ממדיות. בעיות אריזה תלת-ממדיות, כגון איך אפשר לארוז באופן אופטימלי כדורים בתיבה או קוביות בתוך פירמידות, נפוצות אף הן.
בעיית האריזה הטובה ביותר העסיקה מתמטיקאים כבר לפני מאות שנים. אחד המתמטיקאים המפורסמים שעסקו בבעיות אריזה היה יוהנס קפלר, שחי ופעל בגרמניה במאות ה-16 וה-17. קפלר התפרסם במיוחד בזכות מחקריו בתחום האסטרונומיה, שבהם גילה שלושה חוקים מפורסמים העוסקים בתנועת כוכבי הלכת. הוא היה בין מחוללי המהפכה הקופרניקאית, שבניגוד לדעה שרווחה באותם ימים גרסה שכוכבי הלכת נעים סביב השמש ולא סביב כדור הארץ. אך לבד מעיסוקיו באסטרונומיה הקדיש קפלר זמן רב לבעיות אריזה. במשך זמן מה הוא אף חשב (בטעות) שאפשר לחשב את המרחקים בין כוכבי הלכת על ידי פתרון בעיית אריזה של גופים משוכללים הארוזים זה בתוך זה!
אחת הטענות של קפלר בנושא האריזה הייתה שהדרך הטובה ביותר לארוז ערימת תפוזים היא בצורת פירמידה בעלת בסיס ריבועי. בפירמידה כזאת התפוזים תופסים כמעט שלושה רבעים מהמקום הפנוי. מתמטיקאים רבים ניסו להוכיח את טענתו של קפלר, אך בלא הצלחה. בתחילת המאה ה-20 הציג המתמטיקאי הגרמני דוד הילברט את טענת קפלר בעניין אריזת התפוזים כאחת מ-23 בעיות חשובות של המתמטיקה שטרם הוכחו.
רק באוגוסט 1998 הצליח המתמטיקאי האמריקני תומס הלס מאוניברסיטת פיטסבורג להוכיח את טענתו של קפלר. הלס הוכיח גם בעיה עתיקה עוד יותר: נניח שיש לנו אוסף של צורות זהות שאנו אורזים יחד בשטח נתון. מהי האריזה הטובה ביותר מבחינת היחס בין היקף האריזה לשטחה? התשובה היא אריזה בצורה של משושים רבים המחוברים יחד לצורה של כוורת. עובדה זו ידועה היטב לדבורים, האורזות את דבשן בחלות בעלות תאים משושים.
גם כיום חוקרים מתמטיקאים ברחבי העולם בעיות אריזה. המתמטיקאי האמריקאי אריך פרידמן מאוניברסיטת סטטסטון גילה אריזות אופטימליות רבות. הוא פרסם את ממצאיו בספרות המקצועית ואף הציג אותם באתר האינטרנט שלו: Erich's Packing Center.
אפשר לחלק את בעיות האריזה לכמה קבוצות:
- בעיות שקל למצוא בהן את האריזה האופטימלית ולהוכיח מבחינה מתמטית שזו אכן האריזה האופטימלית – למשל בעיית האריזה של שני ריבועים בתוך משולש שווה צלעות.
- בעיות שבהן מוצאים אריזה אופטימלית בעזרת הדמיות מחשב. לפעמים, אחרי מציאת הפתרון האופטימלי, אפשר להוכיח אותו בהוכחה מתמטית, אך במקרים רבים נמצאו בדרך זו אריזות אופטימליות-לכאורה שעדיין לא נמצאה הוכחה מתמטית שהן אכן האריזו הטובות ביותר.
-
בעיות שעד כה לא נמצא להן פתרון אופטימלי אפילו באמצעות הדמיות מחשב.
למרבה ההפתעה, דווקא הקבוצה הראשונה היא הקטנה ביותר, ומכאן שנותרו בעיות רבות מאוד בתחום האריזה שעדיין לא נפתרו ולא הוכחו. חלקן, אגב, נראות די פשוטות לכאורה, אך אל תטעו – הן אינן פשוטות כלל וכלל. בין הבעיות האלה נמצאות השאלות מהי האריזה הטובה ביותר של שישה משולשים שווי צלעות בתוך משולש שווה צלעות גדול? (נמצא פתרון אך לא הוכח מתמטית); מהי האריזה הטובה ביותר של שלושה ריבועים בתוך עיגול? (נמצא פתרון, אך לא הוכח מתמטית); מהי האריזה הטובה ביותר של עשרים עיגולים במשושה? (עד כה לא נמצא פתרון) ועוד.
אולי ביום מן הימים מישהו מכם, קוראינו, ימצא את הפתרון לתעלומות האלו. מכל מקום, נשמח לפרסם כשאלת אתגר את ממצאיו של על מי שימצא אריזה אופטימלית שאינה מופיעה ברשימה של פרידמן, או יוכיח פתרון אופטימלי לאריזה שמופיעה שם ועדיין לא הוכחה.
החידה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.
יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ןיצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
