כוכב לכת נע במסלולו סביב השמש במסלול אליפטי ולא מעגלי! זאת על פי החוק הראשון של קפלר, שהינו למעשה חוק אמפירי.

ניוטון נתן לכך ביסוס תיאורטי בכך שגזר את חוקי קפלר ממשוואות התנועה וחוק הכבידה האוניברסאלי. כידוע, כוח הכבידה בין שני גופים תלוי במסות שלהם ולמעשה כוח שהינו פרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק הינו בקנה אחד עם חוקי קפלר. החוק הראשון של קפלר (למעשה כל 3 החוקים של קפלר) תקפים עבור כל מערכת של גופים שפועל ביניהם כוח משיכה שפרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק ביניהם.

נסביר מהי אקצנטריות בהקשר לצורה הגיאומטרית של אליפסה:
מידת "השטיחות" של אליפסה נקראת אקצנטריות. באיור מטה, האליפסות הופכות ליותר ויותר אקצנטריות משמאל לימין. מעגל נחשב כמקרה פרטי של אליפסה עם אקצנטריות אפס, בעוד ככל שהאליפסות הופכות ליותר שטוחות האקצנטריות שואפות לערך 1. על כן, לכל האליפסות יש אקצנטריות שנעה בין 0 ל 1.

התנועה של הפלנטות היא תנועה אליפטית אך האקצנטריות שלהן היא כה קטנה עבור רוב הפלנטות, כך שלמעשה במבט ראשון הן נראות כנעות במסלול מעגלי.
עבור רוב הפלנטות עלינו למדוד את הגיאומטריה בדקדוק על מנת לקבוע שאין הן נעות במסלולים מעגליים, אלא במסלול אליפטי בעל אקצנטריות קטנה ביותר.
פלוטו וכוכב חמה הם יוצאי דופן: המסלול שלהן מסביב לשמש הוא מאוד אקצנטרי ומסלוליהם אכן נראים 'בבירור' מה לא מעגלי.

כאמור, על פי החוק הראשון של קפלר, ארץ נעה מסביב לשמש במסלול אליפטי. המסלול של ארץ הוא למעשה כמעט מעגלי;
האקצנטריות שלו היא רק 0.0167! לפלוטו, לדוגמא, יש מסלול 'שהינו ממש לא מעגלי' בעל אקצנטריות של 0.2488. חשוב להדגיש שהשמש היא לא בדיוק במרכז המסלול האליפטי של הפלנטה הסובבת אותה. לאליפסה יש נקודה שהינה קצת רחוקה ממרכז האליפסה הנקראת 'מוקד'. השמש נמצאת במוקד של האליפסה. משום שהשמש נמצאת במוקד, ולא במרכז האליפסה, כוכב הלכת נע קרוב יותר ורחוק יותר מהשמש בכל מחזור מסלולי. הנקודה הקרובה בכל מסלול נקראת נקודת הפירהליון. הנקודה הרחוקה נקראת נקודת האפהליון.

המעניין הוא שעד לעבודתו של קפלר תנועה מעגלית אחידה נחשבה לתנועה הטבעית והפשוטה ביותר. חוקי קפלר הם עד היום אחד מהתגליות המרכזיות והחשובות ביותר באסטרונומיה.

ללא ספק, ניסוח חוקי קפלר ובכלל זה ההנחה שהמסלול הינו אליפטי ולא מעגלי היא אחת מנקודת המפנה החשובות ביותר במדע בכלל.

מאת: חיים ברק
המחלקה לפיזיקה של חלקיקים ואסטרופיזיקה
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.

6 תגובות

  • פיני

  • רון

    עכשיו הבנתי

    תודה על התשובה

  • רון

    אני עדיין לא מצליח להבין

    איך בדיוק זה שהכוח פרופורציוני לריבוע המרחק גורם לכוכב הלכת להסתובב במסלול אליפטי? במסלול אליפטי הכוח משתנה (בגלל שהמרחק משתנה), ואז התאוצה לא קבועה.
    איך ניוטון הצליח להביא ביסוס תיאורטי למה שאמר קפלר?

  • ירון גרוס.

    מסלול הכוכבים

    תחילה אני אגיד שאתה צודק, אכן במסלול האליפטי של הכוכבים סביב השמש המהירות גבוהה יותר בחלק המסלול שקרוב יותר לשמש מאשר בחלק שרחוק ממנו. זהו למעשה החוק השני של קפלר הנקרא חוק השטחים השווים.

    חוקי קפלר הם חוקים ניסיוניים, כלומר קפלר הסיק אותם מתוך תצפיות אסטרונומיות (שנערכו על ידי אסטרונום בשם ברהה). ניוטון ניסה להבין מה המקור לחוקים אלו על מנת ליצור את התיאוריה המאוחדת שלו שתיארה באותו אופן את כח הכבידה בין כדור הארץ לתפוח או בין כדור הארץ לשמש.

    בעזרת שני חוקים שניסח ניוטון אפשר להבין מדוע תנועת הכוכבים ניתנת לתיאור על ידי חוקי קפלר, או במילים אחרות מדוע מסלול הכוכבים סביב השמש הינו אליפטי. ראשית החוק השני והידוע של ניוטון הכח שווה למאסה כפול תאוצה ושנית כח הכבידה שאומר שהכבידה בין שני גופים פרופורציונלית למכפלת המאסה שלהם חלקי ריבוע המרחק ביניהם.

    כעת אם תניח כי השמש היא כלכך כבדה שהיא אינה זזה בכלל ורק הכוכב מקיף אותה ניתן לפשט את הבעיה מאוד ולשאול מהו המסלול שיעשה גוף מאסיבי כאשר נקודה כלשהי קבועה במרחב (היכן שהשמש נמצאת) מפעילה עליו כח שפרופורציונלי לריבוע המרחק שלו מן הנקודה.

    לשאלה כזו יש פתרון מתמטי פשוט וניתן להראות כי צורת המסלול של הגוף תיהיה אחת מארבע

    מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה.

    איזה מהתשובות תיהיה נכונה תלוי בתנאי ה התחלה של הבעיה כלומר מה היתה מהירות הגוף (גודל וכיוון) ברגע שהתחיל לפעול עליו הכח.

    כאת בוא נבין למה אנחנו רואים כוכבים תמיד במסלול אליפטי. פרבולה והיפרבולה הם מסלולים פתוחים, כלומר גוף אשר נע בהם בורח למעשה מהנקודה שמושכת אותו, כלומר כוכב שנע במסלול כזה יעלם ממערכת השמש כך שאם היו כאלו כוכבים כאשר מערכת השמש נוצרה הם כבר ברחו ממנה לפני זמן רב.

    לכן כוכב שנע סביב השמש יבצע או מסלול מעגלי או מסלול אליפטי, ועכשיו נבחן את תנאי ההתחלה. על מנת שהכוכב יבצע מסלול מעגלי תנאי ההתחלה חיבים להיות מאוד מדויקים כיוון מהירותו ההתחלתית חייב להיות משיק למעגל וגודלה צריך להיות בערך מאוד מסוים שמתאים למרחק מן השמש. לעומת זאת על מנת לקבל מסלול אליפטי המהירות ההתחלתית יכולה להיות הרבה יותר מגוונת, ישנם הרבה יותר ערכים התחלתיים אשר יובילו למסלול אליפטי. זו הסיבה שאנו רואים מסלולים אליפטיים (בנוסף מסלול מעגלי הוא גם הרבה יותר בעיתי כאשר מסתכלים על הבעיה השלמה והאמיתית, כלומר השמש גם נעה, וישנם כוכבים אחרים במערכת השמש שגם משפיעים על הכוכב שנו מסתכלים עליו כרגע).

    מקווה שעזרתי ולא סיבכתי

  • ישעיהו

    ירון שלום, מבקש הסבר קצת מעבר

    ירון שלום, מבקש הסבר קצת מעבר.
    לפי הבנתי גם במסלול אליפטי המהירות, המרחק והזווית הגם שהם משתנים בכל נקודה על המסלול אך הם חייבים להיות מדוייקים, כך שעדיין לא ברור מה "כולא" את הגופים במסלולם.
    כמשל זה נראה כמו כדור בראש פרמידה כך שהסיכוי שהוא יישאר על ראשה ולא ייפול לכאן או לכאן אפסי.

  • מעיין

    בקשר להתחלת המסלול

    הבנתי את מה שאמרת, אבל משהו אחד מציק לי. ידוע שכדור הארץ נוצר בחגורה של חומר אשר הקיפה את השמש (גזים אבק וכדומה), חגורה כזו שמזכירה את טבעות שבתאי של היום. בהתאם לחוק שימור התנע, כדור הארץ המשיך לנוע במסלול של הטבעות. מסלול הטבעות עצמו היה אליפטי גם כן? אם כן אז זה מובן למה כיום המסלול אליפטי, אבל אם לא, משהו אחר הצטרף למשוואה. מעניין אותי מה. עוד משהו- מסלול טבעות שבתאי נעות במסלול אליפטי?