כדורגל מגזרי נייר בלבד המחוברים ללא שימוש בדבק

בניסוי זה נרכיב ממחומשים וממשושים צורה הדומה לכדורגל הנקראת איקוסהדרון קטום. זו גם אחת הצורות הטבעיות של מולקולות היסוד פחמן.

ציוד

הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון:

הסבר

הגופים האפלטוניים או הפאונים האפלטוניים הם כינוי לחמישה גופים תלת ממדיים שקרויים על שמו של המתמטיקאי והפילוסוף היווני אפלטון (348-428 לפני הספירה) שראה בהם את סמל היופי המושלם.
כל גוף אפלטוני בנוי ממצולעים משוכללים (שווי צלעות וזוויות) זהים - והם בעלי צורה סימטרית. קיימים חמישה גופים אפלטונים תלת מימדיים:

  • ארבעון (טטרהדרון) - פאון משוכלל בעל ארבע פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות.
  • קובייה (הקסהדרון) - פאון משוכלל בעל שש פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
  • תמניון (אוקטהדרון) - פאון משוכלל בעל שמונה פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות; מורכב משתי פירמידות ריבועיות, המחוברות בבסיסן.
  • תריסרון (דודקהדרון) - פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה צלעות
  • עשרימון (איקוסהדרון) - פאון משוכלל בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות.

חמשת הגופים האפלנטונים | מקור: שאטרסטוק

חמשת הגופים האפלנטונים | מקור: שאטרסטוק

אפשר להראות על דרך השלילה כי אמנם קיימים רק 5 גופים כאלו: ממשולשים משוכללים (המצולע בעל מספר הצלעות הקטן ביותר) ניתן לבנות גוף בו בכל קודקוד יש שלושה משולשים (אי אפשר רק שניים – כי אז לא נוצרת צורה תלת-מימדית) וזה הארבעון; או ארבעה משולשים בקודקוד, וזה התמניון; או חמישה, וזה העשרימון. שישה משולשים משוכללים כבר יוצרים משטח ישר: הזווית בין שתי צלעות משולש משוכלל היא 60 מעלות, ולכן שש זוויות כאלו יתנו 360 מעלות – כלומר סידור מישורי שטוח של המשולשים, ולא צורה סגורה.
באותו הגיון: ממרובעים, בעלי זווית של 90 מעלות, אפשר לבנות רק מבנה בעל שלושה מרובעים הנפגשים בקודקוד: קובייה, כי חיבור של שני מרובעים לא יוצר גוף נפחי וארבעה שוב יוצרים משטח ישר (360 מעלות). מחומשים (זווית של 108 מעלות) ניתן לסדר רק כך שיהיו שלושה בקודקוד, שוב מכיוון ששניים לא מספיקים ליצירת גוף נפחי וארבעה יוצרים זווית של יותר מ-360 מעלות. משושים משוכללים (120 מעלות) לבדם, לא יכולים ליצור גוף נפחי, כי כבר שלושה משושים בקודקוד יוצרים משטח ישר. כל יתר המצולעים המשוכללים הם כבר בעלי זוויות שטוחות יותר וכמובן לא יתאימו גם הם – כי מפגש של שלושה מצולעים ייצור זווית הגדולה מ360 מעלות. כך שחמשת הגופים הנ"ל הם היחידים האפשריים.

קבוצה נוספת של גופים מעניינים נקראת הגופים הארכימדיים (שקרויים על שמו של המדען היווני ארכימדס). מדובר בקבוצה של 13 פאונים, שבניגוד לפאונים האפלטוניים, בנויים מלפחות שני סוגים של מצולעים משוכללים (למשל מריבועים וממשולשים). אפשר ליצור את הגופים הארכימדיים על ידי שינויים בגופים האפלטוניים, למשל קטימה של קודקודי הפאונים:

יצירה של 5 מתוך 13 הפאונים הארכימדיים, על ידי קטימת הקדקודים של פאונים אפלטוניים| מקור איורי הפאונים: ויקיפדיה.
יצירה של חמישה מתוך 13 הפאונים הארכימדיים, על ידי קטימת הקדקודים של פאונים אפלטוניים| מקור איורי הפאונים: ויקיפדיה.

צורת הכדורגל או האיקוסהדרון הקטום – שאותה אנו בונים בניסוי, בנוייה מ-20 משושים. אבל כפי שנאמר קודם, משושים לבדם (120 מעלות) לא יכולים ליצור צורה סגורה, ולכן נוספים להם גם 12 מחומשים, בעלי זווית קטנה יותר – של 108 מעלות. מפגש של שני משושים ומחומש אחד בקודקוד מביא לזווית של 348 מעלות, ולכן כדי "להסגר" (שכל הצלעות שסביב הקודקוד יגעו זו בזו) על המשטח להתקמר לצורה סגורה.

ברחבי האינטרנט ניתן למצוא מודלים קישוטיים של תריסרונים מכונפים המורכבים ללא דבק. מודלים אלו שימשו השראה למודל הכדורגל שהוצג בניסוי הנוכחי ולחוברת הפאונים המלאה – של כל הגופים האפלטוניים והארכימדיים הנגזרים מקטימתם. החוברת זמינה להורדה באתר מכון דוידסון (והפאונים יכולים לשמש כקישוט ייחודי לסוכה, למשל).

אפשר גם להרכיב את הצורה הפוך: כאשר הכנפונים שמחזיקים את המצולעים – פונים אל תוך הצורה:

הרכבת פאון בצורת כדורגל, כאשר הכנפונים המחברים נמצאים בתוך הצורה. חיבור החלק האחרון מעט מסובך
הרכבת פאון בצורת כדורגל, כאשר הכנפונים המחברים נמצאים בתוך הצורה. חיבור החלק האחרון מעט מסובך

מעניין לציין

עשרימון קטום נמצא גם בטבע. פולרן – שידוע גם בשם "כדור באקי" הוא מולקולה כדורית חלולה שמורכבת מ-60 אטומי פחמן במבנה של עשרימון קטום. עוד בסוף שנות ה-60 ותחילת שנות ה-70 של המאה הקודמת נחזה קיומם של כדורי באקי באופן תיאורטי (על ידי חישובים), אך רק בשנת 1985 הצליחו לייצר אותם, והם זיכו את מגליהם בפרס נובל בכימיה.

2 תגובות

  • אנונימי

    מדליק

    יופי של כתבה

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןאבי סאייג

    תודה

    :-)