שלום לכם,

החידה הפעם היא חידת הרחבה ששלח דן לחידת תחנת הדלק מהשבוע שעבר, שפתרונה כבר פורסם.

הפעם משימתכם היא לעזור לארבעה מושבים: פלפלון, תפוחון, רימון ומלפפון, שנמצאים על קודקודי מרובע קמור, למצוא את הנקודה שבה יקימו תחנת דלק, כך שסכום ארבעת המרחקים מהיישובים אליה יהיה מזערי. 

מצאו את הנקודה והוכיחו שסכום המרחקים בה הוא הסכום המזערי.

         

 

בהצלחה!

פזיה



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה
.

 

22 תגובות

  • עליזה ברויאר

  • רמי

    חידת הרחבה : מש"ש - כפולה מקסימלית

    נתון : משולש שווה שוקיים (מש"ש). אורך הבסיס חצי מהשוק.
    מצאו נקודה בתוך המשולש כך שמכפלת אורכי הקטעים המחברים את הנקודה לקודקודי המש"ש היא מקסימלית.

  • אוהד ניר

    פתרון מש"ש - כפולה מקסימלית

    הפעם בגלל הסימטריה יש 2 נקודות שנמצאות לאורך השוקיים.
    רק שהפעם זה לא באמצע הצלע, אלא הנקודה נמצאת במרחק של בערך 1.24289 כפול אורך הבסיס מהקודקוד שמחבר בין הצלע לבסיס לעבר קודקוד הראש של המשולש.
    וערך המכפלה המירבית הוא בערך 1.305 כפול אורך הבסיס בשלישית.

  • רמי

    יפה מאוד! פתרון מדוייק.

    לסיכום :
    במשולש שצלעותיו באורכים 1-2-2 , הנקודה נמצאת על השוק, ואם מורידים ממנה גובה לבסיס , אורכו כ 1.24 .
    במשולש שצלעותיו באורכים a-2a-2a , הנקודה נמצאת על השוק, ואם מורידים ממנה גובה לבסיס , אורכו 1.24*a .
    ערך המכפלה של הקווים המתחברים לנקודה מהקודקודים במשולש a-2a-2a הוא 1.305*(a^3)

  • רמי

    חידת הרחבה : מש"צ - כפולה מקסימלית

    נתון : משולש שווה צלעות (מש"צ).
    מצאו נקודה בתוך המשולש כך שמכפלת אורכי הקטעים המחברים את הנקודה לקודקודי המש"צ היא מקסימלית.

  • אוהד ניר

    תשובה חידת הרחבה: מש"צ - כפולה מקסימלית

    בגלל הסימטריה, יש 3 נקודות כאלו - נקודת אמצע הצלע של המשולש

  • רמי

  • אוהד ניר

    פתרון לחידת הרחבה: משולש שווה שוקיים

    במשולש שכזה, זוויות הבסיס שוות ל- 30 מעלות כל אחת, ולכן זווית הראש שווה ל- 120 מעלות.
    להבנתי, נקודת פרמה-טוריצ'לי עובדת על משולשים שהזווית המרבית שלהם הינה 120 מעלות, כולל. ולכן ניתן למצוא את הנקודה על ידי שיטת פרמה-טוריצ'לי.
    כאשר נבנה את המשולש שווה-הצלעות על אחת השוקיים (בגודל 2a), נקבל כי האלכסון מהקודקוד של המשולש החדש לעבר הקודקוד הנגדי במשולש המקורי, משתלב עם השוק השנייה של המשולש המקורי, וזה בגלל שזווית הראש שווה ל- 120 מעלות ועוד 60 מעלות שהיא הזווית של משולש שווה צלעות נותנים 180 מעלות, כלומר שני הצלעות הם על אותו הקו.
    עכשיו, ע"פ השיטה של פרמה-טוריצ'לי, הנקודה צריכה להיות החיתוך של האלכסון הנ"ל עם התיכון/חוצה זווית/אנך אמצעי לעבר בסיס המשולש (במקרה של משולש שוקיים).
    ולכן, קיבלנו כי הנקודה הינה קודקוד הראש של המשולש, ולכן סכום המרחקים הינו 4a.
    ברור מכאן, למה ניתן לממש את שיטת פרמה-טוריצ'לי רק על משולשים עם זוית מרבית של 120 מעלות, כי אם קיימת זווית שגדולה מ- 120 מעלות, מקבלים שחיתוך האלכסונים יוצא מחוץ למשולש המקורי, וזה לא הגיוני שהנקודה תהיה מחוץ למשולש, מכיוון שכל נקודה בתוך המשולש תתן סכום קטן יותר.
    ועבור המקרה של 120 מעלות בדיוק, מקבלים כי הנקודה היא הקודקוד שבו יש זווית של 120 מעלות, ללא תלות בשאר הזוויות של המשולש, ובזה שהוא שווה שוקיים.

  • רמי

    תשובה נכונה.

    איפה הנקודה אם אחת הזויות במשולש גדולה מ 120 מעלות?

  • אוהד ניר

    תשובה

    אם במשולש יש קודקוד עם זווית גדולה או שווה ל- 120 מעלות, הקודקוד עצמו הוא הנקודה שנותנת מינימום על סכום המרחקים.
    מכיוון שכאשר הזווית גדולה מ- 120 מעלות, הנקודה יוצאת החוצה מהמשולש, ואז היא לא מינימאלית, כי ככל שמתקרבים חזרה לאורך האלכסון לעבר המשולש הסכום קטן, עד שמגיעים חזרה לקודקוד המשולש בו הזווית גדולה מ- 120 מעלות, שהוא הנקודה עם הסכום המינימאלי.

  • רמי

    נכון.

    במשולש הקודקוד בעל הזווית הגדולה או שווה ל-120 הוא המיקום לסכום המינימלי של הקווים מהקודקודים אליו.

  • רמי

    חידת הרחבה : משולש שווה שוקיים (מש"ש)

    נתון משולש שווה שוקיים שאורך השוק שלו 2a וגובהו a (אל בסיסו).
    יש למצוא את הנקודה שממנה סכום שלושת המרחקים אל הקודקודים יהיה מזערי.

  • אוהד ניר

    פתרון לחידת הרחבה: 3 מושבים

    נמצא את נקודת פרמה-טוריצ'לי, בעזרת בנייה של משולש שווה צלעות על שתי צלעות כלשהם של המשולש, והעברת קווים מקודקודים במשולשים שבנינו לקודקודים ההפוכים במשולש המקורי. א. קיבלנו כי הנקודה יושבת לאורך הגובה/אנך אמצעי לצלע באורך 6, ובמרחק של שורש שלוש ממנה (הגובה/אנך אמצעי לצלע באורך 6 הינו באורך 4).
    ב. סכום שלושת המרחקים הינו פעמיים שורש 12, ועוד ארבע פחות שורש שלוש, שזה בערך 9.2

  • רמי

    פתרון נכון ומדוייק!

    - כיצד חישבת את ערכי הנקודה ואת ערכי הסכום?
    - אפשר לפתור את החידה הזאת גם ללא שימוש בידע על נקודת פרמה-טוריצ'לי.

  • אוהד ניר

    תשובה

    את ערכי הנקודה חישבתי בצורה קצת מכוערת בעזרת טריגונומטריה, זווית הבסיס היא טנגנס במינוס אחד של 4 חלקי 3, שזה בערך 53.13 מעלות, ועוד 60 מעלות של המשולש שווה צלעות, מקבלים משולש שהגובה שלו זה 5 כפול סינוס 66.87 והמרחק שלו זה 6 ועוד 5 כפול קוסינוס 66.87, ומקבלים שזווית הראש של המשולש שזו הזווית שממנה יוצא הקו לעבר נקודת המינימום היא שווה ל- 30 מעלות, ואז כדי למצוא את הגובה של המשולש, זה טנגנס במינוס אחד של 30 כפול 3 שזה שורש שלוש.
    ומפה חישוב המרחקים זה כבר די פשוט.
    מקווה שהיה ברור, כנראה שלא כל כך כי קשה להסביר את זה בלי ציור.

  • רמי

    חידת הרחבה : 3 מושבים

    שלושה מושבים: פלפלון, תפוחון, ומלפפון, נמצאים על קודקודי משולש שצלעותיו הן באורכים 5 ק"מ, 5 ק"מ ו- 6 ק"מ .
    יש למצוא את הנקודה שבה יקימו תחנת דלק, כך שסכום שלושת המרחקים מהיישובים אליה יהיה מזערי. א] היכן תמוקם הנקודה?
    ב] מהו סכום שלושת המרחקים מהיישובים אליה?

  • אוהד ניר

    פתרון והוכחה לחידת ההרחבה מרובע קעור

    הפתרון הוא פשוט שהנקודה היא היישוב פלפלון עצמו.
    הוכחה: שוב נניח בשלילה כי קיימת נקודה Y שנותנת סכום מרחקים מינימאלי והיא נקודה אחרת, ונקבל סתירה. נפריד בין המקרה שבו הנקודה Y נמצאת בתוך המשולש לבין המקרה שהיא מחוץ למשולש.
    אם נקודה Y נמצאת מחוץ למשולש, אז ניתן להעביר קו ישר A שמפריד בינה לבין המשולש, ואז נקודת המפגש של האנך שיוצא מנקודה Y לעבר הישר A עם הישר A, היא נקודה קרובה יותר לכל אחד משלושת הישובים שנמצאים על קודקודי המשולש, ולכן Y חייב להיות בתוך המשולש.
    נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי פלפלון נמצאת בתוך המשולש שיוצרים נקודה Y תפוחון ומלפפון.
    צעד א׳׃
    מכיוןן שפלפלון בתוך המשולש שיוצר Y עם מלפפון ותפוחון, המרחק מפלפלון לתפוחון ועוד המרחק מפלפון למלפפון קטן מהמרחק מ- Y לתפוחון ועוד המרחק מ- Y למלפפון.
    צעד ב׳׃
    מתוך אי שיוויןן המשולש מקבלים כי המרחק מרימון לפלפלון קטן מהמרחק מרימון ל- Y ועוד המרחק מ- Y לפלפלון.
    ומכיוון שהמרחק מפלפלון לעצמו שווה לאפס, קיבלנו כי סכום המרחקים מפלפלון לכל הקודקודים קטן מסכום המרחקים מנקודה Y לכל הקודקודים, וזו סתירה.
    מ.ש.ל

  • רמי

  • רמי

    חידת הרחבה : מרובע קעור

    הפעם משימתכם היא לעזור לארבעה מושבים: פלפלון, תפוחון, רימון ומלפפון, ששלושה מהם נמצאים על קודקודי משולש חד זווית, והיישוב הרביעי פלפלון נמצא בתוך המשולש, למצוא את הנקודה שבה יקימו תחנת דלק, כך שסכום ארבעת המרחקים מהיישובים אליה יהיה מזערי. מצאו את הנקודה והוכיחו שסכום המרחקים בה הוא הסכום המזערי.

  • אוהד ניר

    פתרון והוכחה

    הפתרון הוא פשוט נקודת חיתוך האלכסונים.
    כלומר, נקודת החיתוך בין הקו שבין תפוחון למלפפון לבין הקו שבין פלפלון ורימון.
    הוכחה: נניח בשלילה שיש נקודה שנותנת סכום מרחקים מינימאלי והיא לא אותה נקודת החיתוך, ונקבל סתירה.
    נקרא לנקודת החיתוך X, ולנקודה שנותנת סכום מרחקים מינימאלי והיא לא נקודת החיתוך נקרא Y.
    אם כך, המרחק שבין תפוחון ומלפפון (ששווה למרחק שבין תפוחון ל- X ובין X למלפפון) קטן מהמרחק שבין תפוחון ל- Y ועוד המרחק מ- Y למלפפון ע"פ אי-שיוויון המשולש (כל צלע במשולש קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות).
    כמו כן, המרחק שבין פלפלון ורימון (ששווה למרחק שבין פלפלון ל- X ובין X לרימון) קטן מהמרחק שבין פלפלון ל- Y ועוד המרחק מ- Y לרימון, גם ע"פ אי-שיוויון המשולש.
    ומתוך כך קיבלנו כי סכום המרחקים מ- X לכל ארבעת קודקודי המרובע קטן מסכום המרחקים מ- Y לכל ארבעת הקודקודים, וזו סתירה.
    מ.ש.ל

  • אוהד ניר

    ניסיון לפתרון, וקצת ניחוש

    נחבר את נקודות האמצע של צלעות המרובע הקמור, ונקבל מקבילית ששטחה שווה לחצי משטח המרובע המקורי.
    על המקבילית שקיבלנו נבצע שוב את אותה הפעולה - נחבר את נקודות האמצע שלה, ונקבל מקבילית ששטחה שווה לחצי משטח המקבילית שממנה היא נוצרה, או רבע משטח המרובע המקורי.
    נבצע את הפעולה הזו בתהליך אינסופי, וכל פעם נקבל מקבילית ששטחה שווה לחצי משטח המקבילית שממנה היא נוצרה, או 1 חלקי 2 בחזקת n משטח המרובע המקורי.
    בגבול של התהליך הזה נתכנס לנקודת מרכז הכובד/המסה של המרובע.
    נקודת מרכז הכובד של המרובע צריכה להיות הנקודה שבה סכום המרחקים ממנה לעבר הקודקודים הוא מזערי, מכיוון שאם זה לא כך אז ישנו יתרון לצד מסוים במרובע וזו כבר לא תהיה נקודת מרכז הכובד (האמת את החלק הזה אני קצת מנחש).

  • רמי

    מרחק מיזערי מאמצע הצלעות

    לדעתי תקבל בסוף התהליך את הנקודה שסכום מרחקיה מאמצעי צלעות המרובע הקמור הוא מינימלי (ואפשר למצוא את הנקודה הזו בצורה פשוטה יותר!).
    השאלה הייתה בנוגע לסכום מינימלי מקודקודי המרובע.