שלום לכם,

שקרנים ודוברי אמת עומדים במעגל כך שבכל קטע רצוף של שקרנים או דוברי אמת  יש שלושה אנשים לפחות. כל משתתף מגדיר כל אחד משני האנשים שיושבים מימינו ומשמאלו. המשפט "אתה שקרן" נאמר עשר פעמים, ואילו המשפט "אתה דובר אמת" נאמר עשרים פעמים.

א. כמה משתתפים במעגל? 

ב. כמה קבוצות (רצף של אנשים מאותו סוג) יש במעגל?  

ג. אם כל דובר אמת יחליף מקומות עם שכנו במקרה שהשכן הוא דובר שקר, ושוב כולם יגדירו זה את זה כמו בהתחלה, כמה פעמים יאמרו "אתה שקרן!" וכמה "אתה דובר אמת"? 

ד. כמה קבוצות רצופות יהיו עכשיו? לצורך העניין גם אדם יחיד נחשב קבוצה.

 

בהצלחה!

תודה לאמנון זקוב על החידה.

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

14 תגובות

  • רמי

    חידה נוספת על שקרנים במלבן

    נגדיר "תצורה חד קבוצתית של אנשים במלבן", אם כל אנשי המלבן הם אומרי אמת או כולם דוברי שקר.

    1) מצאו תצורה חד קבוצתית כך שמספר אומרי האמת מינימלי.
    2) מצאו שתי תצורות חד קבוצתיות שונות (*), כך שמספר אומרי האמת בהן שווים והמספר הזה מינימלי.
    3) מצאו שלוש תצורות חד קבוצתיות שונות (*), כך שמספר אומרי האמת בהן שווים והמספר הזה מינימלי.

    (*) שימו לב כי בשאלה זו NxM שווה ל MxN ולכן אילו לא תשובות שונות.

  • רמי

    שקרנים במלבן

    שקרנים ודוברי אמת עומדים במבנה מלבני NxM. כל אדם על משבצת אחת.
    כל קבוצה, שקרנים או דוברי האמת, אנשיה עומדים ביחד במבנים מלבניים שאורך הצלע שלהם הוא לפחות 2 .
    כך שבכל תת מלבן של שקרנים או דוברי אמת יש 4 אנשים לפחות.
    כל משתתף מגדיר כל אחד מהאנשים שעומדים מסביבו. בפינות ההתייחסות ל 3 שכנים, במרכז ל 8 שכנים, ובשפה ל 5 שכנים.

    המשפט "אתה דובר אמת" נאמר 22 פעמים.
    המשפט "אתה שקרן" לא נאמר כלל !!

    1) מה גודל המלבן?
    2) כמה משתתפים במלבן?
    3) כמה קבוצות?
    4) כמה דוברי אמת וכמה שקרנים במבנה (לכל קבוצה)?

  • עדי

    תשובה

    1) למספר המשפטים שאמרו נוצרת המשוואה 18m + 18n - 8mn - 20 שעבור המספרים 2 ו 3 שווה ל: 54+36-48-20=22 שמתאים לתנאי החידה
    2)לא הבנתי את שאלה זאת. אם גודל המלבן הוא 2X3 אז יש בו 6 משתתפים
    3)אם לא אמרו את המשפט "אתה שקרן" אז לא היו דוברי אמת ודוברי שקר שהיו אחד ליד השני מכאן שלא יכלה להיות גם קבוצה של דוברי שקר וגם קבוצה של דוברי אמת אז יש רק קבוצה אחת.
    4)בקבוצה היחידה יש 6 אנשים
    תשובה זאת נובעת ישירות מתשובות 2,3.

  • רמי

    ענית יפה.

    1,2) באמת שאלה 2 מיותרת.
    3) אכן יש רק קבוצה אחת.
    4) התשובה המספרית נכונה. כדאי לשים לב לעובדה שיש שתי תשובות:
    - מצב בו כולם אומרי אמת (כמו שענית)
    - מצב בו כולם משקרים!! גם כאן כולם יאמרו "אתה דובר אמת".

  • רמי

    פתרון כללי

    נסמן ב Y את מספר האנשים אמרו "אתה שקרן" .
    נסמן ב X את מספר האנשים אמרו "אתה דובר אמת"
    תשובות :
    א] מספר האנשים במעגל הוא X+Y)/2)
    ב] מספר הקבוצות הוא Y/2
    ג] לאחר שינויי המיקום 3*Y יאמרו "אתה שקרן" , ו X-2*Y יאמרו "אתה דובר אמת" .
    ד] מס' הקבוצות הרצופות לאחר שינוי המיקום הוא 1.5*Y

  • רמי

    הסבר לפתרון סעיפים א ו ב

    נסמן ב Y את מספר האנשים שאמרו "שקרן" .
    נסמן ב X את מספר האנשים שאמרו "דובר אמת"

    כל אדם במעגל נמצא באחד משני המצבים הבאים (*) :
    1) בין שני אנשים מקבוצתו
    a. אם שקרן, אז מצדדיו שקרנים, והוא מגדיר אותם (בשקר כמובן) "דוברי אמת"
    b. אם דובר אמת, אז מצדדיו דוברי אמת, והוא מגדיר אותם (הוא דובר אמת) "דוברי אמת".
    2) בין איש מקבוצתו לאיש מהקבוצה השנייה
    a. אם שקרן, אז מצד אחד מקבוצתו שקרן , והוא יגדיר אותו (בשקר כמובן) "דובר אמת"
    מצד שני אחד מקבוצת דוברי האמת, והוא יגדיר אותו (בשקר כמובן) כ "שקרן"
    b. אם דובר אמת, אז מצד אחד מקבוצתו דובר אמת , והוא יגדיר אותו "דובר אמת"
    מצד שני אחד מקבוצת דוברי השקר, והוא יגדיר אותו כ "שקרן"

    (*) מצב שלישי בו איש נמצא בין אנשים מהקבוצה השנייה לא יכול להיות כי יש לפחות 3 אנשים בקבוצה ולכן קבוצה של איש אחד בלבד סותר את תנאי השאלה.

    רק במצב 2) נמצאים מגדירי "שקרן" .
    זהו מצב של גבול בין שתי קבוצות שונות. בכל גבול כזה 2 אנשים מגדירי "שקרן".
    מספר הגבולות זהה למספר הקבוצות, ולכן אם מספר אומרי "שקרן" הוא Y, אז מספר הקבוצות הוא Y/2 .

    כל אחד מהאנשים שבתוך הקבוצות מגדירים פעמיים "דובר אמת".
    האנשים בגבולות מגדירים אותו מספר של "דוברי אמת" ו"דוברי שקר" , לכן בפרט Y פעמים "דובר אמת" ו Y פעמים "שקרן".
    לכן X-Y הוא מספר הפעמים שהאנשים שבתוך הקבוצות מגדירים "דובר אמת".
    לכן (X-Y)/2 הוא מספר האנשים שבתוך הקבוצות.
    סה"כ האנשים שבתוך יחד עם האנשים בגבולות הוא Y+(X-Y)/2 = (X+Y)/2

  • רמי

    הסבר לפתרון סעיפים ג ו ד

    ג] המקומות היחידים בהם דובר אמת עומד ליד דובר שקר הם בגבולות בין הקבוצות.
    נסמן T - דובר אמת, ו- F - שקרן.
    TTFF - לפני ההחלפה, בגבול, שני דוברי האמת יאמרו 3 פעמים "דובר אמת" + פעם אחת "שקרן", שני השקרנים יאמרו 3 פעמים "דובר אמת" + פעם אחת "שקרן".
    TFTF - לאחר ההחלפה , בגבול , שני דוברי האמת יאמרו 3 פעמים " שקרן " + פעם אחת "דובר אמת ", שני השקרנים יאמרו 3 פעמים " שקרן " + פעם אחת "דובר אמת ".
    בשאר המיקומים דבר לא השתנה.
    כלומר בכל נקודת גבול השינוי הוא : במקום לומר 4 פעמים " דובר אמת " אומרים 4 פעמים שקרן".
    מספר הגבולות הוא Y/2
    ולכן מספר דוברי האמת הוא : X-4*Y/2=X-2*Y
    ומספר השקרנים הוא : Y+4*Y/2=3*Y
    ד] מספר הקבוצות השתנה רק בגבול. ממצב 0 ל +2. שתי קבוצות : קבוצה עם שקרן אחד בודד + קבוצה עם דובר אמת אחד.
    מספר הגבולות Y/2 היה זהה למספר הקבוצות.
    התווספו לנו Y/2*2=Y קבוצות ולכן יש כעת Y+Y/2=3*y/2 קבוצות.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    שאלה : האמנם 10?

    אם קיימות 2 קבוצות בלבד, קבוצת דוברי אמת וקבוצת שקרנים, כולם יאמרו "אתה דובר אמת" למעט 4 שעומדים ליד הקבוצה השניה. כל אחד מהם יאמר פעם אחת "אתה דובר אמת" לבן קבוצתן, ופעם אחת "אתה שקרן" לבן הקבוצה השניה.
    כלומר 4 פעמים יאמר "אתה שקרן".

    עבור 4 קבוצות (חייב להיות מספר זוגי של קבוצות) יש 8 משתתפים שיאמרו "אתה שקרן" 8 פעמים.

    עבור 6 קבוצות יש 12 משתתפים שיאמרו "אתה שקרן" 12 פעמים.

    עבור 2N קבוצות יש 4N משתתפים שיאמרו "אתה שקרן" 4N פעמים.

    לא קיים N שלם עבורו 4N=10 .

  • עדי

    שקרנים לפי הבנתי

    בכל קבוצה של דוברי אמת או שקרנים יהיו שני אנשים שישבו בגבול הקבוצה וכל אחד מהם יאמר פעם אחת "אתה שקרן"(לשני אנשים מסוגים שונים שיושבים לידו תמיד יאמר פעם אחת אתה שקרן ופעם אחת אתה דובר אמת) כלומר לN קבוצות יאמרו אתה שקרן 2N פעמים ולכן N=5

  • רמי

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    אתה צודק רמי!

    לא לקחתי בחשבון את זה שמספר הקבוצות חייב להיות זוגי...
    התשובה הכללית שלך נכונה מאד!
    כתבת בקיצור, אולי תרצה להוסיף הסברים?

  • עדי

    אפשר להסביר לי למה

    למה מספר הקבוצות חייב להיות זוגי?

  • רמי

    למה מספר הקבוצות חייב להיות זוגי

    בסיס הטיעון נובע מהמשפט הראשון בחידה : "שקרנים ודוברי אמת עומדים במעגל כך שבכל קטע רצוף של שקרנים או דוברי אמת יש שלושה אנשים לפחות".
    נניח שיש 3 קבוצות במעגל : A2 A1 ו- A3
    כל קבוצה מתממשקת עם כל קבוצה אחרת.
    כלומר
    1) A1 צמודה ל A2 מצד אחד, ועם A3 מהצד השני.
    2) גם A2 צמודה ל A1 מצד אחד ול A3 מהצד השני.
    3) וגם A3 צמודה ל A1 מצד אחד ול A2 מהצד השני.
    היות ויש רק 2 סוגים של אנשים בקבוצות, מתוך ה 3 קבוצות יש שתי קבוצות עם סוג זהה של אנשים.
    למשל אם A1 ו A3 עם אנשים מסוג זהה, אזי מסעיף 3) רואים כי הם צמודים זה לזה ולכן בגלל דרישת הרצף זו קבוצה אחת מאוחדת ולא שתיים. ובסה"כ יש רק שתי קבוצות שונות. מספר זוגי.
    גם אם A1 ו A2 היו זהי סוג אנשים וגם אם A2 ו A3 היו זהי סוג אנשים , המסקנה הייתה זהה.

    נניח כי יש 2N+1 (מספר אי זוגי) קבוצות במעגל עבור N>1 . הקבוצות מסודרות עם אינדקס רץ A(2N+1) ... A3 A2 A1 כך שקבוצה A1 צמודה לקבוצה (A(2N+1 .
    יש בדיוק 2 סוגי קבוצות ולכן חייבים לשים את הקבוצות לסירוגין, אחרת נהיה חייבים למזג קבוצות זהות סוג.
    לכן אם קבוצה A1 היא מסוג אחד, אזי כל קבוצה שהאינדקס שלה אי זוגי צריכה להכיל אנשים מסוג זה. בפרט הקבוצה עם האינדקס 2N+1.
    אך קבוצה זו חופפת לקבוצה A1 ולכן אמורה להיות חלק ממנה, בסתירה להנחת האי זוגיות של מספר הקבוצות במעגל כפי שהוגדר בחידה.