שלום לכם,

במשחק טנגרם רגיל יש שבעה חלקים ובתוכם חמישה משולשים בשלושה גדלים שונים.

משחק טנגרם רגיל | צילום: נביט דילמן, ויקיפדיה

בסוף מאי פרסמנו כתבה על  טנגרם שוזר על עצמו. הסברנו בה שאפשר להרכיב כל אחד מחלקי הפאזל באמצעות חלקי פאזל קטנים יותר, כפי שרואים בתמונות.

    
משולש מורכב מחלקי טנגרם |   ריבוע מורכב מחלקי טנגרם   | מקבילית מורכבת מחלקי טנגרם

 

כשמרכיבים כל אחד משבעת חלקי הפאזל מחלקי טנגרם קטנים יותר מתקבל פאזל שמורכב מ-49 חלקים.

משולש שהורכב מחלקי טנגרם שהורכבו מחלקי טנגרם. בתמונה הימנית מודגש הפירוק הראשון.

כמה מתוך 49 החלקים הללו הם משולשים, ובכמה גדלים שונים המשולשים הללו מופיעים?

אם נמשיך להרכיב כל אחד מ-49 החלקים הללו מחלקי טנגרם, נקבל 343 חלקים. כמה מהם משולשים ובכמה גדולים שונים?

שיהיה לכם שבוע טוב,

סבינה



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

26 תגובות

  • רמי

    גדלי המשולשים וכמותם בשלב השלישי

    להן מספר המשולשים ומספר החלקים הכולל בכל שלב: שלב,מס' משולשים, מספר חלקים כולל
    ======================
    1, 5, 7
    2, 35, 49
    3, 245, 343 נניח שמשולש ראשון הורכב מחלקי טנגרם ששטחם הכולל הוא 16.
    להלן כמות המשולשים לכל גודל של משולש (יחסית ל 16) בשלב 3 : מספר משולשים, גודל המשולש
    =====================
    8 0.00390625
    28 0.0078125
    54 0.015625
    65 0.03125
    54 0.0625
    28 0.125
    8 0.25

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    יפה!

    יפה מאוד! לדעתי כדאי להוסיף את הטבלה (מספר המשולשים - גודל) עבור הפירוק השני. זה יעזור להבין כיצד מקבלים את המספרים הללו.

  • רמי

    גדלי המשולשים וכמותם בשלבים 1 ו- 2

    שלב 1 :
    מספר משולשים, גודל המשולש
    =====================
    2, 1
    1, 2
    2, 4 שלב 2 :
    מספר משולשים, גודל המשולש
    =====================
    4 , 0.0625
    8 , 0.125
    11, 0.25
    8 , 0.5
    4 , 1

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מעולה....

    מעולה! מישהו רוצה להסביר כיצד משיגים את המספרים הללו?

  • רמי

    נוסחת חישוב למספרי הגדלים בכל שלב

    בכל שלב מחלקים כל חלק ל 7 חלקים קטנים יותר.
    2 משולשים בגודל 1/4 מהחלק.
    3 חלקים (משולש, ריבוע ומקבילית) בגודל של 1/8 מהחלק.
    2 משולשים בגודל 1/16 מהחלק.
    הוספת חלקים קטנים היא של (2,3,2) בגדלים יחסיים של (1/4,1/8,1/16) בהתאמה.
    הוספת משולשים היא של (2,1,2) בגדלים יחסיים של (1/4,1/8,1/16) בהתאמה.
    בכל שלב s יש 2s+1 גדלי משולשים שונים. נסמן a(s,k) להיות מספר המשולשים בשלב s בגודל ה k-י.
    כלומר למשל בשלב השני, מספר המשולשים הכי קטנים בשלב (k=0) :
    מתקיים 4 = (2,0) a
    תחום הערכים של k בכל שלב s הוא מ 0 ועד 2s. להלן הגדרת נוסחת הנסיגה לקבלת כל מספר של משולשים בגודל מסוים בכל שלב :
    =======================================
    נסמן את ערכי התחלה של הנוסחה :
    a(0,0) = 1 ,
    a(1,0) = 2 , a(1,1) = 1 , a(1,2) = 2 ,
    a(s,-1) = 0 , a(s,-2) = 0
    a(s,2*s+1) = 0 , a(s,2*s+2) = 0
    נוסחת הנסיגה הכללית: a(s,k) = 2*a(s-1,k)+3*a(s-1,k-1)+2*a(s-1,k-2)

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    וואו!

    וואו!
    שאלתי את עצמי (ועדיין לא עניתי לעצמי) האם יש נוסחה לא רקורסיבית?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    שאלת המשך

    כמה משולשים יש בכל אחד מהגדלים השונים?

  • דוד.ו.

    תשובת המשך

    על זה כבר ענינו לך 35 משולשים יש סהכ .
    ובכל אחד מהגדלים השונים יש 5 משולשים.
    או שלא הבנתי נכון את השאלה...

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    כמה מכל סוג?

    עניתם נכון שיש אחרי הפירוק השני חמישה סוגים של משולשים. כמה משולשים יש מכל סוג? לבטח לא 5, כי 5 כפול 5 שווה 25. יש לנו אבל 35 משולשים....

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    המשך הדיון למטה....

    <p>
    אכן זה רעיון טוב להתייחס לשטחים של הצורות השונות, וזה לא כזה מסובך לחשב אותם.</p>

  • דוד.ו.

    5 סוגים של משולשים

    יש 5 סוגים של גדלים של המשולשים. ו35 משולשים סהכ
    אחריי שהורדתי ניצבים גיליתי שהמשולש הקטן הוא חצי מהמשולש הבינוני שהוא שווה לריבוע שוהא שווה למעויין שהם חצי מהמשולש הגדול .
    ולכן יש רק 5 סוגים של משולשים
    משולש 1- משולש קטן של המשולש הקטן
    משולש 2- בינוני של הקטן שהוא גם קטן של הבינוני
    משולש 3-גדול של קטן שהוא בינוני של הבינוני והוא קטן של הגדול
    משולש 4- גדול של בינוני שהוא גם בינוני של הגדול
    משולש 5 - גדול של הגדול.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מעולה!!!

    <p>
    <a href="http://www.picgifs.com/smileys/smileys-and-emoticons/happy/smileys-happy... target="_blank">http://www.picgifs.com/smileys/smileys-and-emoticons/happy/smileys-happy...

  • דן-1

    חידת טנגרם

    ל-49 חלקים יש 35 משולשים.
    וגם 21 גדלים שונים .
    ל-343 חלקים יש 245 משולשים.
    וגם 147 גדלים שונים. ל שבע בחזקת N חלקים יש חמש כפול שבע בחזקת N-1 משולשים
    וגם 3 כפול שבע בחזקת N-1 גדלים שונים.

  • דוד.ו.

    ניראה לי שהחישוב קצת שונה

    דן ניראה לי שאתה מפספס משהו .מקבילית שווה ל2 משולשים קטנים ומשולש גדול שווה ל2 משולשים בינוניים.
    אז לפי הסדר הזה יש פחות גדלים של משולשים כי הם חוזרים על עצמם .

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    תמיד מרכיבים צורות מכל חלקי המשחק

    הכוונה היא לחלוקת חלקי הטנגרם לשבעת חלקי המשחק בלבד ולא לחלוקות אפשריות נוספות (כמו למשל החלוקה של מקבילית לשני משולשים). אכן יש גדלים שחוזרים על עצמם....

  • דוד.ו.

    כן אבל..

    כן אבל כשאת סופרת בסוף את מס המשולשים בפועל יש פחות סוגי גדלים מהמספר שדן חישב שזה המקסימום של המשולשים .
    לדוגמא המשולש הבינוני שיצא מהמקבילית הוא באותו הגודל של המשולש הגדול שיצא למשולש הקטן חחח קצת מסובך .
    לא נורא כניראה התעמקתי קצת יותר מדיי....

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    בכיוון הנכון

    לא התעמקת יותר מדי. זה בדיוק הכיוון הנכון : - ).

  • דוד.ו.

    אז התשובה היא...

    סהכ 35 משולשים ב13 גדלים שונים ואם נחלק את זה לעוד חלוקה ישאר לנו עדיין 13 גדלים ומס המשולשים יהיה 245 והחישוב הוא לפי ההנחה ש המשלוש הגדול של המשולש הבינוני הוא שווה למשולש הבינוני של המשולש הגדול.
    והמשולש הגדול של המשולש הקטן שווה למשולש הבינוני של המקבילית

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    המממ...

    13 גדלים שונים, זה נראה לי עדיין הרבה, מפני שיש רק שלושה גדלים שונים בפירוק הראשון. כמה גדלים שונים יכולים לרדת מכל אחד משלושת הגדלים המקוריים?

  • דוד.ו.

    kzblan@zahav.net.il

    אז ככה .
    כל חלוקה של טנגרם יוצרת 2*משולש גדול +1*משולש בינוני +2*
    שזה נותן לנו 5 משולשים מכל טנגרם . יש סהכ 7 צורות שזה נותן לנו 35 משולשים מטנגרם אחד.
    כל טנגרם שונה בגודלו חוץ מהמשולש הגדול שחוזר על עצמו פעמיים והמשולש הקטן שחוזר על עצמו פעמיים לכן יש לנו 5 טנגרמים שונים כפול 5 משולשים בכל אחד מהם שזה 15 סוגים . המשלוש הגדול של המשולש הבינוני הוא שווה למשולש הבינוני של המשולש הגדול.
    והמשולש הגדול של המשולש הקטן שווה למשולש הבינוני של המקבילית
    לכן נשאר לנו 13 סוגים של משולשים .
    מכאן תסבירי איך בדיוק יש 3 משולשים ?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    "כל טנגרם שונה בגודלו" ?

    אכן?
    אני מניחה שאתה מתכוון ל"טנים", כלומר לחלקי המחשק.

  • דוד.ו.

    כל תת טנגרם ..

    אני מתכוון שמכל חלק מחלקי המשחק אנחנו יוצרים טנגרם בפני עצמו ובגלל שכל החלקים שונים מלבד המשולשים הגדולים והקטנים יש לנו 5 טנגרמים שונים בגודלם שהצלחנו למצוא בינים משולשים באותו הגודל אבל עדיין אם תשבי משולש גדול מו משולש גדול וריבוע מול ריבוע ומעויין מול מעויין הם לא יהיו שווים .

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    הצורות השונות וגודליהם

    כיוון שמעוינים וריבועים כוללים משולשים כאשר מפרקים אותם לחלקי טנגרם, מעניין לדעת מהם גודליהם וכיצד ניתן להשוות ביניהם.

  • דוד.ו.

    אם יש לך זמן יש לי פתרון שתוכלי לבדוק...

    יש לי שיטה אבל אין לי זמן לבצע אותה , באמצעות פיתגורס קל אפשר לבצע את זה באמצעות חישוב שטחים כי כל הרעיון פה הוא היחס בין השטחים של המשולשים.
    אם מציבים מס אקראי לאחד הצלעות (לדוג' 100 שיהיה קל בחילוק ובחישוב) אפשר להוריד אנכים לכל הצלעות ולגלות שכל הצורות חותכות אחד את השני בדיוק באמצע ובאמצעות פתגורס לדעת את השטח של כל צורה ואז לפי היחס בין השטחים אפשר לדעת בדיוק מספרית איזה משולש שווה למשולש אחר וכמה צורות אפשר להכניס

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    אתחיל דיון חדש למעלה....

    כיוון שהטור הופך להיות צר מדי, אני מתחילה דיון חדש למעלה....

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    כל כך הרבה???

    <p>
    כל כך הרבה גדלים שונים?</p>