איך לבחור תא שירותים בדרך מתמטית

אם אתם נוהגים להשתתף בפסטיבלים של מוזיקה אתם מכירים בוודאי מקרוב את הבעיה הכאובה (והריחנית) הבאה: אתם ניצבים מול שורה ארוכה של תאי שירותים – איזו אסטרטרגיה תיתן לכם סיכוי גבוה לבחור את תא השירותים המיטבי, כלומר התא הכי היגייני והכי נקי, עם שפע של נייר טואלט וסבון לידיים, בלי שתצטרכו לעבור על כל שורת התאים?

צפו בסרטון שלפניכם מבית Numberphile, וד"ר ריה סימונדס מאוניברסיטת נוטינגהם תגלה לכם את התשובה המתמטית לשאלה המאתגרת.

צפייה מהנה!

אם אינכם רואים כתוביות בעברית בחרו לאחר הפעלת הסרטון ב"הגדרות ("Settings") ובכתוביות בעברית (Subtitles/CC: Hebrew).
 

הסרטון הופק בידי בריידי הרן מ-Numberphile; מרואיינת: ד"ר ריה סימנודס;
הנפשה: פיט מק'פרלן תרגום: יפעת אדלר, צוות דוידסון אונליין

בעיה זו ידועה כ"בעיית המזכירה". הבעיה פשוטה לניסוח וקלה ודי פשוטה לפתרון, אך הפתרון שלה מעניין ומפתיע למדי. הניסוח המדויק של הבעיה הוא:

ייש לנו n מועמדים. ההנחות הבאות מתקיימות:

1. קיים סדר עדיפות שלפיו מדורגים המועמדים, מהטוב ביותר לגרוע ביותר, ואין שני מועמדים עם דירוג זהה.
2. המועמדים מגיעים זה אחרי זה וסדר הגעתם אקראי.
3. כשמועמד מגיע אנחנו יכולים לקבוע את דירוגו רק יחסית למועמדים שכבר ראינו. איננו יכולים לקבוע את דירוגו המוחלט.
4. מטרתנו היא לבחור את המועמד הטוב ביותר. איננו מתפשרים על פחות מהטוב ביותר.
5. אם דחינו מועמד, איננו יכולים להתחרט ולבחור בו בכל זאת.
6. מספר המועמדים n ידוע מראש.
    

אין ספק שההנחות שלנו לא מציאותיות, אך הבעיה הזו משמשת הקדמה נחמדה לתורת ההחלטות. מהי האסטרטגיה האופטימלית? מה ההסתברות למצוא את המועמד המיטבי כשאנחנו משתמשים באסטרטגיה הזאת? מה קורה לאסטרטגיה ולהסתברות ההצלחה ככל ש-n גדל?

בסרטון בחרה ד"ר סימונדס באסטרטגיה הבאה: נבחן 37 אחוז מהמועמדים בלי לבחור את אף אחד מהם. לאחר מכן נבחר את המועמד הראשון שיהיה טוב יותר מכל המועמדים שראינו עד בואו.

המספר 0.37 הוא למעשה קירוב למספר .1/e המספר הזה הוא גם שיעור המועמדים שעלינו לבדוק לפני שאנחנו מתחילים לבחור מועמד וגם ההסתברות שנבחר במועמד האופטימלי. איך הגענו למספר הזה? תוכלו לצפות בפירוט המתמטי (באנגלית) בסרטון ההמשך של ד"ר סימונדס ולעיין בו באתר הבא של אוניברסיטת אלבמה. 

יפעת אדלר
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.