ניטול חופשה זמנית מהאי המקסים שקרמתיה, שבו חיים יחדיו באושר שקרנים ודוברי אמת – ונפנה לדון בנושא חשוב מכיתה א': חיבור וחיסור: האם הן באמת שתי פעולות שונות?
לכאורה – ודאי שכן. הרי 7+5 שונה מ-7-5. אבל שכשגדלנו וגילינו את המספרים השליליים כבר היה נדמה שהחיסור מיותר ואפשר להסתפק בחיבור בלבד ולכתוב את הביטוי השני בצורה הבאה: (5-)+(7+).
המסקנה יכולה להיות שהחיסור הוא מעין חיבור, כך שאולי הוא מקצר את הכתיבה אך בעצם הוא רק חיבור בתחפושת. כדי לגלות את האמת נדון תחילה בחוקי החיבור בתחום המספרים השלמים:
א. תכונה חשובה ביותר של החיבור, שאיננו שמים לב אליה בדרך כלל כי היא נראית מובנת מאליה, היא שתוצאת החיבור של כל שני שלמים הינה מספר שלם. זה אינו מובן מאליו. למשל: בפעולת החילוק בין שני שלמים – התוצאה אינה מספר שלם בדרך כלל. לתכונה הזאת, ששומרת את תוצאת הפעולה בתחום, קוראים קשירות.
ב. ישנו איבר מופלא יחיד הקרוי איבר היחידה, שחיבורו לכל איבר אחר אינו משנה את התוצאה. זהו כמובן האיבר 0.
ג. לכל איבר a קיים איבר נגדי a-, כך שסכומם הוא 0.
ד. סדר הפעולה אינו משנה: a+b=b+a . זהו חוק החילוף, שקרוי בלועזית החוק הקומוטטיבי.
ה. ועתה לחוק המסובך מכולם: פעולת החיבור מוגדרת בין שני איברים, אך אנו מרבים לכתוב גם ביטויים כמו: 3+6+8 מבלי לציין מי מהשניים אנו מחברים תחילה. הסיבה לכך היא קיומו של חוק הצירוף, ובלועזית: החוק האסוציאטיבי, שקובע a+(b+c)=(a+b)+c.
כתוצאה מרחיקת לכת של ג' וד', אנו יכולים לחבר קבוצת מספרים גדולה ככל שנרצה, לשנות כרצוננו את סדרם ואת סדר הסוגריים – ונקבל תמיד את אותה תוצאה! זה נראה לנו מובן מאליו – אך למעשה זו תכונה נדירה יחסית בין כל הפעולות האפשריות. אפילו בין חמש פעולות החשבון הבסיסיות (כולל העלאה בחזקה), רק שתיים מקיימות זאת.
קבוצת איברים עם פעולה שמקיימת את חמשת החוקים קרויה חבורה קומוטטיבית. יש ביניהן חבורות אינסופיות כמו חבורת השלמים, ויש סופיות כמו חבורות השאריות. נסו לבדוק חבורת שאריות כלשהי, נניח מודולו 5, וראו אם חמשת התנאים אכן מתקיימים. נסו למצוא חבורות נוספות כאלה. (רמז: הרחיבו את קבוצת השלמים) ואנו נחזור לשאלה שהצבנו: מה מתוך חמשת החוקים מתקיים בפעולת החיסור?
במסקנות – נדון בבלוגריתמוס הבא.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
