אם תעצרו אדם אקראי ברחוב ותשאלו אותו מה דעתו על הוכחות מתמטיות, סביר להניח שהוא יעקם את פרצופו – ואם הוא קצת פחות מנומס אז כדאי שתתרחקו, שמא יעקם דווקא את פרצופכם.
לכאורה נראה שהוכחת משפטים במתמטיקה היא מלאכה קשה ומסובכת, אבל לא תמיד זה כך. לפעמים די בעיקרון פשוט אחד כדי להוכיח משפטים רבים ומגוונים, ויהיו מסובכים ככל שיהיו. כזה הוא "עקרון המגירות" שהגדיר לראשונה המתמטיקאי המפורסם יוהן פטר גוסטב לה-ז'ן דיריכלה.
דיריכלה נולד בשנת 1805 בגרמניה למשפחה שמוצאה מהעיר הבלגית ריכלה. מכאן גם נובע שמו, שפירושו "מהעיר ריכלה". ואגב, פירוש השם לה-ז'ן הוא "הצעיר", כך ששמו הוא "הצעיר מריכלה"). כבר בגיל 12 התעניין פטר הצעיר במתמטיקה וקנה בדמי הכיס שלו ספרי מתמטיקה. בבית הספר הוא הצטיין במתמטיקה ובהיסטוריה, ואחרי שסיים את התיכון בגיל 16 המשיך לאוניברסיטה בפריז, שם למד עם מיטב המתמטיקאים של דורו. באותה תקופה נאבק בהצלחה במחלת האבעבועות השחורות שבה לקה ושרד אותה בחיים, לרווחתם של כל אוהבי המתמטיקה.
מאוחר יותר עבר דיריכלה לאוניברסיטאות שונות בגרמניה, שם היה אחראי לחידושים רבים בתחומי המתמטיקה והפיסיקה. אף שתרם רבות לקידום הפתרון של החידה המתמטית הידועה בשם משפט פרמה, הוא ידוע הרבה יותר בזכות עיקרון אחד פשוט ביותר המוכר בשמות רבים, ביניהם עקרון המגירות, עקרון שובך היונים ועקרון דיריקלה.
למרות פשטותו, העיקרון הזה שימושי מאוד במתמטיקה בתחומים רבים ומפתיעים. בפשטות, הוא קובע כי "אם יש מספר מסוים של מגירות (למשל חמש) ומספר פנינים הגדול לפחות באחת ממספר המגירות (בדוגמה הזו, שש) - אזי לפחות אחת המגירות תכיל יותר מפנינה אחת".
אם תחשבו לרגע, תראו שהעיקרון הזה חייב להיות נכון.
באמצעות עקרון המגירות אפשר לפתור הרבה שאלות. בדרך כלל מספיק לזהות מיהן הפנינים ומיהן המגירות במשל. גם זו לא פעם משימה קשה למדי.
לפניכם דוגמה לעקרון המגירות: נוכיח שבכל קבוצה של שמונה אנשים יש לפחות שניים שנולדו באותו יום בשבוע (ראשון, שני, שלישי וכו', אבל כמובן לאו דווקא באותו שבוע ממש). ההוכחה לכך פשוטה: לפי עקרון המגירות חייבת להיות מגירה אחת שיש בה שתי פנינים לפחות. עלינו לבחון את השאלה ולשאול את עצמנו מי בשאלה נמצא בתפקיד המגירות ומי בתפקיד הפנינים. דרך פשוטה לגלות זאת היא להסתכל בשאלה ולחפש שני מספרים שאחד מהם גדול מחברו. אולי המספר הגדול הוא כמו מספר הפנינים והמספר הקטן כמו מספר המגירות?
בשאלה שלנו מופיעים המספרים שמונה (אנשים) ושבע. אבל רגע! איפה בכלל מוזכר המספר שבע?
שבע אינו מוזכר במפורש, אבל הוא "מתחבא", שכן בשאלה שואלים על אנשים שנולדו באותו יום בשבוע - ובשבוע יש שבעה ימים. לפי זה, הימים הם המגירות והאנשים הם הפנינים. לכן, לפי עקרון המגירות, חייבת להיות מגירה (יום בשבוע) שיש בה לפחות שתי פנינים (אנשים). או כפי שרצינו להוכיח, אפשר לדעת בוודאות ששני אנשים לפחות נולדו באותו יום בשבוע.
לפעמים, כדי לעזור בפתרון הבעיה, נוח לצייר ציור כמו זה:
