המספרים הראשוניים, שנחשבים לאטומים של עולם המספרים, עומדים במוקד ההתעניינות של תורת המספרים מראשית ימיה. משפטים והשערות רבות נכתבו על המספרים הללו ועל תכונותיהם, כגון השערת גולדבך. בכתבה הזו נעסוק בסדר הגודל של המספרים הראשוניים בתוך המספרים הטבעיים, ובקשר שקיים בין מספרים ראשוניים עוקבים.

מספרים ראשוניים הם מספרים טבעיים גדולים מ-1 שמתחלקים ללא שארית רק בעצמם וב-1. אחד המשפטים הראשונים שנוגעים למספרים הראשוניים הוא המשפט של אוקלידס, שקובע שיש אינסוף מספרים ראשוניים. כמות המספרים הטבעיים גדולה יותר מזו של המספרים הראשוניים, ולכן אפשר לשאול  מהי הצפיפות של המספרים הראשוניים בתוך המספרים הטבעיים. ובמילים אחרות, נשאל כמה מספרים ראשוניים יהיו בסדרה סופית של מספרים טבעיים.

כדי להבין את סדר הגודל של המספר הזה נסתכל קודם על שתי קבוצות אינסופיות אחרות של מספרים: הראשונה היא קבוצת המספרים שהם חזקות של המספר 2 (2, 4, 8, 16, 32...) והשנייה היא קבוצת המספרים הזוגיים. אם נסתכל על אלף המספרים הטבעיים הראשונים (1, 2, 3, 4..., 1000) נגלה שרק עשרה מספרים מביניהם הם חזקות של 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ו-512). לעומת זאת, 500 מהמספרים האלו הם מספרים זוגיים. אפשר להכליל ולומר שבתוך $x$ המספרים הטבעיים הראשונים יהיו מעט מספרים שהם חזקות של 2 אבל יהיו $\dfrac{x}{2}$ מספרים זוגיים.

כמות המספרים הראשוניים בין $x$ המספרים הטבעיים הראשונים אינה קטנה כמו החזקות של 2, אבל קטנה יותר מכמות המספרים הזוגיים. כבר בסוף המאה ה-19 הוכיחו במקביל המתמטיקאים ז'אק הדמר ושארל דה לה ואלֵה פוסָן שלכל מספר טבעי $x$, כמות המספרים הראשוניים הקטנים מ-$x$ היא בקירוב $\dfrac{x}{ln(x)}$. יש עוד כמה פונקציות שמבטאות את הגודל הזה, חלקן מדויקות יותר, אבל אנחנו נסתפק בזו, שכן היא פונקציה שקל להבין ולנתח אותה.

הפונקציה $\dfrac{x}{ln(x)}$ היא פונקציה עולה – ככל ש-$x$ גדול יותר, גם כמות המספרים הראשוניים תהיה גדולה יותר, אבל ככל ש-$x$ יגדל המספרים הראשוניים יהיו שכיחים פחות. כלומר היחס בין $x$ לבין מספר הראשוניים ילך ויקטן. דרך אחרת לראות את זה היא שאם נבחר רנדומלית מספר של עשרים ספרות, הסיכוי שהוא מספר ראשוני יהיה קטן יותר ממספר של עשר ספרות.

ההפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים
הגענו למסקנה שהמספרים הראשוניים שכיחים פחות ופחות ככל שהמספר גדול יותר. אבל האם זה אומר שגם ההפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים (מספר ראשוני $p$ ומספר ראשוני $q$ הראשון שבא אחריו, לדוגמה 19 ו-23) הולך וגדל? זו שאלה שקשה יותר לענות עליה.

כדי להבין את השאלה נחזור שוב לקבוצת החזקות של 2 ולקבוצת המספרים הזוגיים. אם נתון לנו מספר זוגי כלשהו, המספר הזוגי הבא אחריו יהיה גדול ממנו ב-2 וזה נכון לכל המספרים הזוגיים: ההפרש ביניהם הוא תמיד 2. במקרה של קבוצת החזקות של 2, ההפרש בין שני מספרים עוקבים בקבוצה (כמו 8 ו-16 או 512 ו-1024) הולך וגדל אקספוננציאלית. המשמעות היא גם שלכל מספר $k$ שנבחר קיים מספר סופי של זוגות מספרים עוקבים שההפרש ביניהם קטן מהמספר הזה. לדוגמה, יש רק שלושה זוגות שההפרש ביניהם הוא 15 או פחות: 2 ו-4; 4 ו-8 ;8 ו-16.

התשובה לשאלה על ההפרש בין זוגות של מספרים ראשוניים עוקבים אינה מוחלטת, אך יש לגביה כמה השערות. אחת מהן נקראת "השערת ההפרש החסום" (Bounded Gap Theory). ההשערה אומרת שיש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים עוקבים שההפרש ביניהם אינו עולה על 70,000,000. הטענה הזו אולי נוגדת את האינטואיציה שלנו – אם הראשוניים שכיחים פחות ופחות, איך יכול להיות שלאינסוף זוגות יש חסם עליון ששומר על המרחק ביניהם?

את השערת ההפרש החסום הוכיח ב-2013 המתמטיקאי ייטאנג "טום" ז'אנג. כדי להבין את ההוכחה שלו נאמץ גישת חשיבה שונה מעט מהרגיל ונחשוב על המספרים הראשוניים כמספרים רנדומליים. זו גישה שנראית אולי מוזרה – הרי המספרים הראשוניים אינם שרירותיים! אבל מתברר שיש דרכים שבהן ההתנהגות של המספרים הראשוניים מזכירה קבוצת מספרים רנדומלית.

הנה לכם דוגמה. אם נבחר רנדומלית מספר טבעי $n$ גדול מ-3, השארית שלו בחלוקה ל-3 תהיה 0 (אם הוא מתחלק ב-3 ללא שארית), 1 או 2. בקבוצה רנדומלית סופית של מספרים טבעיים, השכיחות של מספרים שהשארית שלהם היא 0, 1 או 2 תהיה שווה בקירוב. אם נבחר באופן רנדומלי מספר ראשוני ונחלק אותו ב-3, נוכל לקבל 1 או 2 (שארית 0 אינה אפשרית שכן משמעותה היא שהמספר מתחלק ב-3, ולכן לא ייתכן שהוא ראשוני).

מתברר שבקבוצת מספרים ראשוניים סופית ורנדומלית, שכיחות המספרים שהשארית שלהם מחלוקה ב-3 היא 1 זהה לשכיחות המספרים שהשארית שלהם תהיה 2. כלומר יש לנו כאן התנהגות רנדומלית.

איך עוזרת לנו ההסתכלות על המספרים הראשוניים כעל קבוצת מספרים רנדומלית? נחשוב רגע שיש לנו "שק" של נקודות ונפזר אותן על משטח כלשהו. הנקודות ייפלו רנדומלית על המשטח ונראה שרבות מהן ינחתו קרוב זו לזו, בזוגות ובמקבצים, כמו בתמונה הבאה. התרגיל המחשבתי הזה יכול לעזור לנו להבין שתופעה דומה יכולה לקרות גם למספרים הראשוניים עוקבים, והם יכולים להיות קרובים זה לזה.


פיזור רנדומלי של נקודות על משטח

למעשה, לא רק שההפרש בין אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים חסום, אלא שהמתמטיקאים מאמינים שיש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 בלבד, כלומר $p$ ו-$p+2$ ששניהם ראשוניים. הטענה הזאת נקראת "השערת המספרים הראשוניים התאומים" ונכון להיום אין לה הוכחה.המתמטיקאים מסתמכים בהשערתם על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים.

הצגנו הסבר אינטואיטיבי לכך שההפרש בין מספרים ראשוניים עוקבים הוא חסום. לסיום נציג חישוב קצר שמראה כמה זוגות של מספרים ראשוניים בקבוצה נתונה צפויים להיות ראשוניים תאומים. ראינו שמתוך $N$ מספרים טבעיים, כ$\dfrac{N}{ln(N)}$ מהם הם ראשוניים. אנחנו מניחים שההתפלגות של הראשוניים היא רנדומלית ומכאן שלכל מספר nבקבוצה הזו יש הסתברות של $\dfrac{1}{ln(N)}$ להיות ראשוני. יש כ- $N$זוגות של מספרים מהצורה $(n,n+2)$ וההסתברות ששניהם ראשוניים היא $(\dfrac{1}{ln(N)})^2$, לכן התוחלת של זוגות ראשוניים תאומים, כלומר המספר הצפוי של זוגות כאלו, היא $\dfrac{N}{(ln(N))^2}$. המשמעות היא שמספר זוגות הראשוניים התאומים הולך וגדל ושואף לאינסוף.

ההשערות שראינו על ההפרש בין מספרים ראשוניים אולי נוגדות מעט את מה שנראה לנו הגיוני, ואולי מוזר לחשוב על המספרים הראשוניים כבעלי תכונות רנדומליות. אתם מוזמנים לנסות לבדוק את ההשערות על קבוצות סופיות של מספרים טבעיים, כמו סדרת המספרים מ-1 עד 200: כמה ראשוניים יש בסדרה? כמה זוגות של ראשוניים תאומים? מה ההפרש הגדול ביותר בין זוג של מספרים ראשוניים עוקבים?

הכתבה מבוססת על המאמר The Beauty of Bounded Gaps – A Huge Discovery about Prime Numbers and What It Means for the Future of math, מאת Jordan Ellenberg.

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

2 תגובות

  • s

    מה זה $

    .

  • א.עצבר

    גישה חדשה למספרים - גם לראשוניים

    גישה חדשה למספרים- גם לראשוניים יש למתמטיקאים , שני סוגים של מספרים.
    מספרחדים ו אנטי מספרחדים 1 הוא מספר היצירה של שני הסוגים .
    1 מביע כמות ערטילאית.
    המספרים מביעים כמויות ערטילאיות. מספרחדים נוצרים בצבירת 1 , והם 2 , 3 ,
    4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11 , 12 ,
    13 , 14 , 15, 16 , 17 , וכן הלאה ללא סוף צבירת 1 היא צבירת הכמות הערטילאית של 1
    1 ועוד 1 נרשם בקיצור 2
    כך נולדה המשוואה 1 + 1 = 2
    וכך נולדה המשוואה 1 + 1 + 1 = 3 לעומת מספרחדים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,
    אנטי מספרחדים, נוצרים בחלוקה אחידה של 1 ,
    ושימוש בחלק יחיד של חלוקה זו.
    1 הוא תמיד מספר היצירה של שני סוגי המספרים. כאשר מחלקים את 1 ל 2 חלקים שווים, ומשתמשים בחלק יחיד של חלוקה זו,
    נוצר אנטי 2 , והוא יסומן כך 2'
    כאשר מחלקים את 1 ל 3 חלקים שווים, ומשתמשים בחלק יחיד של חלוקה זו,
    נוצר אנטי 3 , והוא יסומן כך 3' וכך נוצרת לה שורת אנטי מספרחדים 2' , 3' , 4' , 5' , 6', 7' , 8' , וכן הלאה ללא סוף. ברור ומובן מאליו כי 2 פעמים אנטי 2 = 1
    אם נקצר את המלה "פעמים" ל פם , נקבל את המשוואה הקצרה 2פם2' = 1
    הביטוי 2פם2' יכונה בשם מספרפם והוא מספר , בדיוק כמו שמספרחד הוא מספר, וכמו שאנטי מספרחד הוא מספר. מספרפם מביע כמות ערטילאית, בדיוק כמו שמספרחד ואנטי מספרחד מביעים כמויות ערטילאיות. ברור ומובן מאליו כי 3 פעמים אנטי 3 = 1, ובקיצור 3פם3' = 1
    הביטוי 3פם3' יכונה בשם מספרפם והוא מספר , בדיוק כמו שמספרחד הוא מספר, וכמו שאנטי מספרחד הוא מספר. מספרפם מביע כמות ערטילאית, בדיוק כמו שמספרחד ואנטי מספרחדים מביעים כמויות ערטילאיות. מיגוון המספרפמים הוא אינסופי
    2פם2' , 17פם199' , 7פם3' , 12478פם1234887' , וכן הלאה.
    במספרפם אין כל חידוש, כיוון שהוא שילוב של מספרחד ואנטי מספרחד. החידוש הוא במספרחדים הנוצרים בצבירה של 1
    2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11 , 12 , 13 , 14 , 15, 16 , 17 , וכן הלאה ללא סוף ובאנטי מספרחדים – הנוצרים בחלוקה אחידה של 1 - ובשימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    2' , 3' , 4' , 5' , 6' , 7' , 8' , 9' , 10' , 11' , 12' ,13' , 14' , 15, וכן הלאה ללא סוף. והחידוש הגדול באמת הוא המצאת הכמות הערטילאית המיוצגת על ידי המספר 1
    1 הוא מספר היצירה של כל המספרים ( מספרחדים, אנטי מספרחדים, ומספרפמים)
    והמשוואה היחידה המתארת אותו היא 1 = 1 להמצאת המספרים יש חשיבות גדולה מאוד בחיים המעשיים.
    ואולם, להמצאת המספרים יש גם צד תיאורטי, והוא מגלה כי המצאת המספרים היא "מושלמת" בטיפול של כמויות בדידות, אבל "אינה מושלמת" בטיפול של כמויות רציפות.
    כמויות רציפות הן של אורך, שטח, נפח, זמן ואנרגיה.
    .
    נדמה ריבוע מושלם שאורך צלעו מיוצג על ידי 1 של אורך,
    וכמות שטחו מיוצגת על ידי 1 של שטח.
    במרכזו של ריבוע זה , נדמה ריבוע נוסף, שכמות שטחו מיוצגת על ידי 2'
    אורך צלעו של הריבוע המרכזי חייב להיות מספרפם קטן מ 1 וגדול מ 2'
    מספרפם כזה לא קיים בהמצאת המספרים, מכיוון שחוק מיוחד מונע את קיומו. למספרים יש חוק מיוחד והוא "חוק שימור הזהות בפעולת כפל עצמית.
    מספרחד כפול עצמו = תמיד מספרחד
    אנטי מספרחד כפול עצמו = תמיד אנטי מספרחד
    מספרפם כפול עצמו = תמיד מספרפם.
    ולכן,
    לא קיים מספרפם - שבפעולת כפל עצמית – ייתן אנטי מספרחד , או מספרחד.
    התוצאה....לריבוע ששטחו 2' אין מספרפם אורך. וכמובן, גם לריבועים ששטחם 3' , 5' , 6' , 7' , 8' , 10' , 11' , 12' אין מספרפמי אורך.
    וגם לריבועים ששטחם 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10, 11, 12, 13, 14, 15 אין מספרפמי אורך. תופעה זו קיימת , גם במשולשים ישרי זווית המקיימים את משפט פיתגורס ?
    אין ספק שקיים משולש ישר זווית,ששטחי הריבועים הבנויים על צלעותיו הם 13 , 8 , 5
    למשולש זה אין מספרפמי אורך לצלעות, מכיוון ששטחי הריבועים הם מספרחדים. כדי להשיג משולשים עם מספרים ,(גם לאורכי צלעות וגם לשטחי הריבועים), צריך שיטה
    שתפיק משוואות מסוג אא + בב = גג
    א יהיה מספר אורך של ניצב, ב יהיה מספר אורך של ניצב, ג יהיה מספר אורך של היתר.
    אא , בב ו גג יהיו מספרי השטח של הריבועים הבנויים על הניצבים והיתר. אלגוריתם חדשני לייצור משוואות, מסוג .....אא + בב = גג
    אלגוריתם זה יספק אינסוף קבוצות של 3 מספרים א , ב , ג ,
    המקיימים את המשוואה אא + בב = גג
    כל קבוצה כזו , תכונה בשם קבוצת אבג כדי שהאלגוריתם יפיק קבוצת אבג יש לבצע 3 פעולות.
    הראשונה: יש לבחור מספר א גדול מ 1 (או מספרחד , או מספרפם)
    השנייה : יש לחשב את מספר ב על פי מחצית של ( אא מינוס 1 )
    השלישית: יש לחשב את מספר ג על פי ( ב + 1 ) השימוש המעשי של קבוצות אבג , הוא בייצוג של משולשים ישרי זווית.
    א מתאים לייצג אורך ניצב ,
    ב מתאים לייצג אורך ניצב ,
    ג מתאים לייצג אורך יתר.
    היות ובחירת א קובעת בהכרח את ב , אז בחירת א קובעת את צורת המשולש.
    הביטוי המתמטי לצורה של משולש ישר זווית, הוא מספר היחס בין אורכי הניצבים שלו. בבחירת ניצב א 17פם11' מתקבל ניצב ב 161פם242' , יתר ג 403פם242' , ומספר יחס 4114פם1771' טבלאות הטנגנס יתרגמו את היחס הזה לזווית של 66.7 מעלות
    המשוואה אא + בב = גג מתקיימת. בבחירת ניצב א 5 , מתקבל ניצב ב 12 , יתר ג 13 , ומספר יחס 2.4
    טבלאות הטנגנס יתרגמו את היחס הזה לזווית של 67.44 מעלות הופעת המספרים המנותקים זה מזה.
    בשורת המספרחדים , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , וכו
    ניתן להבחין במספרחדים המנותקים זה מזה.
    שורת המספרחדים המנותקים מתחילה כך 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19, וכו' ובמה מתבטא הניתוק הזה ? הוא מתבטא בכך , כי מספרחד מנותק הנצבר על עצמו,
    " לא יכול " ליצור מספרחד מנותק גדול ממנו
    3 בצבירה עצמית לא יכול ליצור את 5 , ולא את 7 , ולא את 11 , וכך הלאה אם נשתמש בשתי שורות המספרים האלה.
    2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , ,,,,,,
    2' , 3' , 5' , 7' , 11' , 13' ,17' , 19' , 23' , 29' , 31' ,,,,,,
    נקבל עבורם כלל אחיד
    כל מספר בצבירה עצמית – לא מסוגל ליצור מספר גדול ממנו. א.עצבר