שנה חדשה - הגרלות חדשות. הלוטו מציע השבוע פרס גדול במיוחד, אז כמה כבר קשה לזכות? באופן לא מפתיע זה די קשה. אפילו קשה מאוד

בשיטת הלוטו של מפעל הפיס בישראל, בכל הגרלה עולים שישה מספרים מתוך 37 ועוד מספר חזק אחד מתוך שבעה שיכול להגדיל את סכום הפרס. ניחוש נכון של ששת המספרים בצירוף המספר החזק יזכה אתכם בפרס הראשון.

כדי להבין את סיכויי הזכייה יש לחשב נחשב כמה קומבינציות אפשריות קיימות. ראשית, בניגוד לטוטו ולהגרלות אחרות, בלוטו אין חשיבות לסדר הבחירה – אם ניחשנו 17, 19, 20, 13, 1, 4 ו-7 כמספר הנוסף, ואילו בהגרלה יצא 19, 13, 17, 4, 20, 1 ו-7, עדיין נזכה, למרות הסדר השונה. בנוסף, בלוטו אי אפשר לחזור פעמיים על אותו מספר, כלומר אם קיבלנו את המספר 2, הוא ייצא מההגרלה.

ועדיין אנחנו צריכים לנחש מי מהמספרים יזכה. לשם כך צריך לחשב את כל האפשרויות. הדרך לכך עוברת בחישוב. אבל אל דאגה – הוא הרבה פחות מסובך מכפי שהוא נראה אולי במבט ראשון.

ראשית, כמה אפשרויות יש למספר הראשון? 37. אחרי שהוצאנו מספר אחד מההגרלה, יש 36 אפרויות למספר השני, 35 לשלישי וכן הלאה. כלומר סך כל האפשרויות הקיימות לבחירה בלי חזרות הוא 37*36*35…*2*1. במתמטיקה, הפעולה הזאת של הכפלת מספרים עוקבים מכונה "עצרת" והיא מסומנת בסימן "!".

אם כן, יש לנו 37! אפשרויות לבחור מהן, שזה בקירוב 1042 אפשרויות, כלומר אחד עם 42 אפסים אחריו (או בעברית פשוטה: מיליון טריליון טריליון טריליונים). מתוך המספר העצום הזה אנו רוצים לבחור 6 מספרים בלי להתחשב בסדר שלהם. לכן יש לנו שש אפשרויות לבחירה הראשונה, חמש לבאה וכך הלאה. כלומר שוב יש לנו עניין של עצרת, והפעם 6!, כלומר בסך הכול יש 6!/37! אפשרויות לכך.

בחישוב הזה קצת רימינו, כי הנחנו שהסדר כן חשוב (1, 2 ואז 3 הוא לא כמו 3, 2 ואז 1). אז כדי לקחת את זה בחשבון, אנחנו צריכים גם להוריד את הסידורים הפנימיים של השאר כדי לדעת כמה אפשרויות יש. כלומר שאנחנו צריכים לחלק במספר האפשרויות הכולל (37) פחות כמות המספרים שכבר בחרנו (6) ולמצוא את כל האפשרויות של המספרים שיכולים לצאת כאן, כלומר ב-(37-6)!, שהם 31!. אפשר לסכם את זה בזה שכמות האפשרויות שיש לנו היא (31!*6!)/37!, כלומר יש לנו בערך שני מיליון אפשרויות.

אבל רגע! עוד לא התחשבנו במספר החזק – צריך עוד להכפיל את המספר הזה בשבע האפשרויות של המספר החזק. כלומר יש לנו בסך הכול בערך 15 מיליון אפשרויות לבחור מהן, ורק אחת מהן תהיה הנכונה.

בואו נחשוב לרגע על הסיכוי הזה לעומת דברים אחרים שיכולים לקרות לנו בעולם. הסיכוי הזה נמוך מהסיכון  שכולנו נמות במהלך ה-70 שנים הקרובות מפגיעת אסטרואיד – אירוע שהסיכוי לו עומד בערך על 1 ל-1.5 מיליון. הסיכון להיהרג בתאונת דרכים ביום אקראי כבר קרוב יותר – בישראל נהרגים כ-350 אנשים בשנה בתאונות דרכים, כלומר בערך אדם בכל יממה. אם כך, הסיכוי להיהרג בתאונת דרכים ביום כלשהו הוא בערך 1 ל-8.5 מיליון תושבי המדינה. אז הסיכוי הזה אכן מתקרב לסיכוי לזכות בלוטו, אך עדיין נמוך ממנו מעט.

 

7 תגובות

  • עמי כהן

    מצטער על הבורות, קודם כל לא

    מצטער על הבורות, קודם כל לא הבנתי את החישוב. למרות שהוא נכתב בשפה קלה אבל עדיין לא הבנתי את החישוב עצמו. למה החישוב הוא לא 37*36*35*34*33*32 (מספר האפשרויות הפנויות בשש המקומות) כפול 7 (המספר הנוסף). אפשר תשובה לשתי השאלות. תודה מראש.

  • איציק

    תשובה

    שלום עמי, אני אפשט לך את החישוב: מס' האפשרויות לבחור 6 מספרים מתוך 37, כאשר יש חשיבות לסדר המספרים שנבחר וללא החזרה של המספרים שכבר נבחרו, הן כפי שרשמת: 37*36*35*34*33*32, כלומר, אם היינו רוצים לבחור 6 מספרים בלוטו, כשיש חשיבות לסדר, כלומר, שיש הבדל למשל, בין האפשרות: 2,32,5,8,19,26 לבין האפשרות: 26,5,19,32,8,2 בגלל שסדר הבחירה של המספרים חשוב לנו, אז מס' האפשרויות במקרה זה הוא : 37*36*35*34*33*32 = 1,673,844,480 אפשרויות.
    מכיוון כשמחשבים סיכוי לזכות בלוטו, אין חשיבות לסדר בו המספרים יצאו (העיקר שיצאו אותם 6 מספרים), אזי יש לחלק את המספר הנ"ל במספר האפשרויות שחוזרות על עצמן.
    כמה פעמים כל רצף של 6 מספרים יכול לחזור על עצמו? או במילים אחרות, בכמה אפשרויות הוא יכול לצאת בצורה שונה? מס' האפשרויות הזה שקול למעשה למס' האפשרויות לסדר 6 מספרים שונים בשורה, כלומר, !6 שהוא שווה ערך ל-720 אפשרויות. כלומר, מס' האפשרויות לזכות בלוטו שווה
    ל- !6 / 37*36*35*34*33*32 (כלומר, מס' האפשרויות לזכות בלוטו הוא מכפלת האפשרויות להוצאת 6 מספרים ללא החזרה כשאין חשיבות לסדר הוצאת המספרים (ואז מחלקים ב- 6 עצרת כי יש 720 אפשרויות ש-6 המספרים חוזרים על עצמם, כלומר כי כל רצף של 6 מספרים שנבחר חוזר על עצמו ב- 720 אפשרויות שונות של סדר). את המכפלה 32*33*34*35*36*37 ניתן גם לרשום בצורה:
    !31/ !37 וכאמור במכפלה ב- 6! כדי לבטל את האפשרויות הסדורות כי אין להן חשיבות נרשום:
    (!6 * !31) \ !37 = 2,324,784 אפשרויות לזכיה בלוטו.
    וזה מקרה פרטי למעשה של בחירת K אפשרויות (במקרה הזה - 6) מתוך n אפשרויות (במקרה הזה - 37)
    כאשר אין חשיבות לסדר וללא החזרה, וניתן לרשום אותה בצורה: (n-k)! k!\!יn (ונקראת n על k)
    או בצורה מקוצרת: (n k)
    ומכיוון שיש 7 אפשרויות לבחירת המספר החזק, אזי הסיכוי לזכות בלוטו עם המספר החזק הוא:
    2,324,784 * 7 = 16,273,488 אפשרויות (כשהסיכוי למות בתאונת דרכים הרבה יותר גדול).

  • אנונימי

    כל הכבוד על התשובה!

    מפורטת ורהוטה

  • יונתן

    מה הנוסחה לחישוב זכייה בפרס

    מה הנוסחה לחישוב זכייה בפרס השני בלוטו ?

  • אריה

    סיכויי זכיה בלוטו

    האם אפשר לחשב מה הסיכוי אחרי צימצום אפשרויות לא הגיוניות כמו רצף גדול מידי של מספרים שעלו בגורל.
    ועוד אפשרויות צנמצום

  • איציק

    זאת תורה שלמה שאותה בטח שחזרה

    זאת תורה שלמה שאותה בטח שחזרה הדוקטור לסטטיסטיקה :) אבל זה אפשרי, הרבה עבודה שחורה
    ואלמינציות. אפשר גם עם תוכנה, זה יותר קל. אמנם לסטטיסטיקה אין זכרון אבל אפשר "לפסול" הרבה אפשרויות סדורות ולקחת את ההימור שהן לא יצאו מכיוון שהן כמעט אף פעם לא יוצאות.
    ניתן גם לחשב להכליל את כל ה-37 מספרים ב-2-3 טפסים בצורה כזו כך שנזכה בוודאות לפחות בפרס הקטן של בחירת 3 מספרים שיצאו בהגרלה.

  • נטע רוזנטל

    סטטיסטיקה ומספרים

    כיוון שהמספרים אינם תלויים אלה באלה, כלומר שאם מספר יצא בעבר זה לא משפיע על סיכוייו הנוכחיים לצאת, אז אין דרך לצמצם זאת בצורה זו.
    יחד עם זאת, לא ברור לחלוטין, לפחות בארצות הברית, שהאקראי הוא מושלם, וכבר הייתה דוקטורית לסטטיסטיקה שזכתה ארבע פעמים ברציפות בפרס של הלוטו (תוכל לקרוא עוד על זה ב-www.businessinsider.com/4-time-lottery-winner-not-exactly-lucky-2011-8?r... למשל), אז אולי משתלם לעשות דוקטורט בסטטיסטיקה ;)