שנה חדשה - הגרלות חדשות. הלוטו מציע השבוע פרס גדול במיוחד, אז כמה כבר קשה לזכות? באופן לא מפתיע זה די קשה. אפילו קשה מאוד

בשיטת הלוטו של מפעל הפיס בישראל, בכל הגרלה עולים שישה מספרים מתוך 37 ועוד מספר חזק אחד מתוך שבעה שיכול להגדיל את סכום הפרס. ניחוש נכון של ששת המספרים בצירוף המספר החזק יזכה אתכם בפרס הראשון.

כדי להבין את סיכויי הזכייה יש לחשב נחשב כמה קומבינציות אפשריות קיימות. ראשית, בניגוד לטוטו ולהגרלות אחרות, בלוטו אין חשיבות לסדר הבחירה – אם ניחשנו 17, 19, 20, 13, 1, 4 ו-7 כמספר הנוסף, ואילו בהגרלה יצא 19, 13, 17, 4, 20, 1 ו-7, עדיין נזכה, למרות הסדר השונה. בנוסף, בלוטו אי אפשר לחזור פעמיים על אותו מספר, כלומר אם קיבלנו את המספר 2, הוא ייצא מההגרלה.

ועדיין אנחנו צריכים לנחש מי מהמספרים יזכה. לשם כך צריך לחשב את כל האפשרויות. הדרך לכך עוברת בחישוב. אבל אל דאגה – הוא הרבה פחות מסובך מכפי שהוא נראה אולי במבט ראשון.

ראשית, כמה אפשרויות יש למספר הראשון? 37. אחרי שהוצאנו מספר אחד מההגרלה, יש 36 אפרויות למספר השני, 35 לשלישי וכן הלאה. כלומר סך כל האפשרויות הקיימות לבחירה בלי חזרות הוא 37*36*35…*2*1. במתמטיקה, הפעולה הזאת של הכפלת מספרים עוקבים מכונה "עצרת" והיא מסומנת בסימן "!".

אם כן, יש לנו 37! אפשרויות לבחור מהן, שזה בקירוב 1042 אפשרויות, כלומר אחד עם 42 אפסים אחריו (או בעברית פשוטה: מיליון טריליון טריליון טריליונים). מתוך המספר העצום הזה אנו רוצים לבחור 6 מספרים בלי להתחשב בסדר שלהם. לכן יש לנו שש אפשרויות לבחירה הראשונה, חמש לבאה וכך הלאה. כלומר שוב יש לנו עניין של עצרת, והפעם 6!, כלומר בסך הכול יש 6!/37! אפשרויות לכך.

בחישוב הזה קצת רימינו, כי הנחנו שהסדר כן חשוב (1, 2 ואז 3 הוא לא כמו 3, 2 ואז 1). אז כדי לקחת את זה בחשבון, אנחנו צריכים גם להוריד את הסידורים הפנימיים של השאר כדי לדעת כמה אפשרויות יש. כלומר שאנחנו צריכים לחלק במספר האפשרויות הכולל (37) פחות כמות המספרים שכבר בחרנו (6) ולמצוא את כל האפשרויות של המספרים שיכולים לצאת כאן, כלומר ב-(37-6)!, שהם 31!. אפשר לסכם את זה בזה שכמות האפשרויות שיש לנו היא (31!*6!)/37!, כלומר יש לנו בערך שני מיליון אפשרויות.

אבל רגע! עוד לא התחשבנו במספר החזק – צריך עוד להכפיל את המספר הזה בשבע האפשרויות של המספר החזק. כלומר יש לנו בסך הכול בערך 15 מיליון אפשרויות לבחור מהן, ורק אחת מהן תהיה הנכונה.

בואו נחשוב לרגע על הסיכוי הזה לעומת דברים אחרים שיכולים לקרות לנו בעולם. הסיכוי הזה נמוך מהסיכון  שכולנו נמות במהלך ה-70 שנים הקרובות מפגיעת אסטרואיד – אירוע שהסיכוי לו עומד בערך על 1 ל-1.5 מיליון. הסיכון להיהרג בתאונת דרכים ביום אקראי כבר קרוב יותר – בישראל נהרגים כ-350 אנשים בשנה בתאונות דרכים, כלומר בערך אדם בכל יממה. אם כך, הסיכוי להיהרג בתאונת דרכים ביום כלשהו הוא בערך 1 ל-8.5 מיליון תושבי המדינה. אז הסיכוי הזה אכן מתקרב לסיכוי לזכות בלוטו, אך עדיין נמוך ממנו מעט.

 

2 תגובות

  • אריה

    סיכויי זכיה בלוטו

    האם אפשר לחשב מה הסיכוי אחרי צימצום אפשרויות לא הגיוניות כמו רצף גדול מידי של מספרים שעלו בגורל.
    ועוד אפשרויות צנמצום

  • נטע רוזנטל

    סטטיסטיקה ומספרים

    כיוון שהמספרים אינם תלויים אלה באלה, כלומר שאם מספר יצא בעבר זה לא משפיע על סיכוייו הנוכחיים לצאת, אז אין דרך לצמצם זאת בצורה זו.
    יחד עם זאת, לא ברור לחלוטין, לפחות בארצות הברית, שהאקראי הוא מושלם, וכבר הייתה דוקטורית לסטטיסטיקה שזכתה ארבע פעמים ברציפות בפרס של הלוטו (תוכל לקרוא עוד על זה ב-www.businessinsider.com/4-time-lottery-winner-not-exactly-lucky-2011-8?r... למשל), אז אולי משתלם לעשות דוקטורט בסטטיסטיקה ;)