הגיאומטרייה של הבניינים והצמחים. היחסים של ההרמוניות המוזיקליות. ההסתברות של שעשועוני טלוויזיה. מתמטיקה היא הרבה יותר מאשר מספרים על לוח ובחינות בגרות
מגיל צעיר מלמדים אותנו שחשבון זה חשוב. למעשה, כילדים אנו נחשפים לבעיות ראשונות של חיבור וחיסור הרבה לפני שאנחנו מתחילים ללמוד קרוא וכתוב. בהמשך לימודינו אנו נדרשים לעשות בחינת בגרות גם במתמטיקה, אבל למה בעצם מחייבים תלמידים דווקא שנמשכים למקצועות ההומניים ללמוד תחום שלכאורה לא יתרום להם דבר? איך המתמטיקה של הבגרות יכולה לקדם חובבי אמנות, אדריכלות ומוזיקה ולתרום להם משהו מעבר לספירה פשוטה של העודף במכולת?
פיתגורס ומוזיקה
את פיתגורס, פילוסוף ומתמטיקאי שחי ביוון הקדומה לפני כ-2,500 שנה, רובנו מכירים מהמשפט המפורסם שלו על הקשר בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית. רק מעטים מכירים את תרומתו הייחודית בתחום לא פחות חשוב – המוזיקה. למעשה, הוא היה הראשון שגילה את הקשר בין צלילים ומספרים.
דמיינו מיתר באורך מסוים, כשתפרטו עליו הוא יפיק צליל – זה הבסיס של חלק ניכר מכלי הנגינה המוכרים לנו. אך פיתגורס הבחין שאם חוצים את אותו מיתר במרכזו ופורטים שוב, מתקבל צליל דומה מאוד לצליל המקורי אבל גבוה ממנו באוקטבה אחת – מרווח של שמונה צלילים בדיוק. פיתגורס אף הראה שכאשר יחסי האורך בין המיתרים הוא יחס פשוט של שני מספרים קטנים ושלמים, צירופי הצלילים המופקים מהם ערבים לאוזננו.
היחס בין אורכי המיתרים קשור ליחס בין תדרי גלי הקול שהם מייצרים. כשפורטים על מיתר הוא מייצר גל קול בתדר מסוים (תדר הוא מספר הרטיטות של המיתר בשנייה, והוא נמדד ביחידה הקרויה הרץ). ככל שתדר הגל גבוה יותר כך הצליל המופק גבוה יותר. כך למשל התו לה (A) המרכזי בפסנתר הוא גל קול שרוטט בתדר של 440 הרץ, והתו לה באוקטבה הגבוהה יותר מפיק גל בתדר של 880 הרץ, כלומר היחס ביניהם הוא 1:2.
גילויו של פיתגורס אפשר לחשוף צירופים נוספים של צלילים ערבים לאוזן, שזכו לכינוי "צירופים הרמוניים" (קונסוננס). לדוגמה הקווינטה (מרווח של חמישה צלילים, למשל דו וסול), הקוורטה (ארבעה צלילים, למשל דו ופה) והטרצה (שלושה צלילים, למשל דו ומי) מתאימים ליחסי התדרים 2:3, 3:4 ו-4:5 בהתאמה. פיתגורס אף תרם לבניית הסולמות המוזיקליים שיוסדו בתרבויות שונות, שחלקם נותרו עד היום אבני הבניין של השפה המוזיקלית.
יחס הזהב
יחס הזהב הוא קבוע מספרי (ϕ=(1+√5)/2≈1.618) שמעסיק מדענים, אמנים ואדריכלים מאז ימי יוון העתיקה ועד היום.
על פי ההערכות, מי שגילה את היחס הזה היה אחד מתלמידיו של פיתגורס, והוא צוין לראשונה לפני כ-2,300 שנה בספרו של אוקלידס, "יסודות".
יחס הזהב הוא אמנם בסך הכל מספר, אך יש לו תכונות ייחודיות והוא אף כונה "הפרופורציה האלוהית". אפשר למצוא אותו בתחומים רבים ושונים מעולם המתמטיקה כמו פונקציות, סדרות, גיאומטריה וטריגונומטריה.
בעולם הפונקציות, יחס הזהב הוא הפתרון החיובי של המשוואה הריבועית ϕ2=ϕ+1.
מבחינה גיאומטרית, יחס הזהב מתואר על ידי מלבן הזהב, שיחס צלעותיו שווה ליחס הזהב, כפי שאפשר לראות באיור:
 |
|
הקסם במלבן הזהב הוא שאם מוסיפים לו ריבוע שאורך צלעו כאורך הצלע הגדולה במלבן הזהב המקורי, מקבלים שוב מלבן זהב (ראו איור).
יחס הזהב מופיע גם ביחסים בין מספרים עוקבים בסדרות. בכל סדרה בעלת התנאי הרקורסיבי Xn+1=Xn+Xn-1 עם תנאי התחלה כלשהו (למשל סדרת פיבונצ'י שמתחילה מ-1), היחס של שני מספרים עוקבים שואף ליחס הזהב ככל שמתקדמים גבוה יותר בסדרה.
מאפייניו הייחודיים של יחס הזהב עוררו את סקרנותם של אמנים ואדריכלים רבים. מבחינה אסתטית רבים חושבים עליו כפרופורציה המושלמת והיפה ביותר שבנמצא. יש מי שסבורים שהשימוש בו החל כבר באדריכלות של יוון הקלאסית, כגון בניין הפרתנון באתונה שנבנה בפרופורציה דומה ליחס הזהב. האדריכלות האסלאמית של ימי הביניים כבר עשתה בו שימוש רב – למשל כיפת הסלע בירושלים, שנבנתה במידות פרופורציונליות מדויקות התואמות את יחס הזהב. בבנייה המודרנית של ימינו אפשר למצוא את יחס הזהב בבניין האו"ם ובמוזיאון גוגנהיים שבניו יורק.
אמני הרנסנס בתחום הציור והפיסול השתמשו ביחס הזהב כדי להשיג את מה שנחשב ליופי המושלם. פרופורציות של יחס הזהב ניתן למצוא ביצירות של אמנים גדולים רבים מהתקופה הזאת ואחריה, כגון המונה ליזה של לאונרדו דה וינצ'י.
יחס הזהב מופיע גם בטבע: למשל בסידור העלים סביב גבעולים של צמחים רבים, בצורה הלוליינית של קונכיות, בעלי הכותרת של פרחים כגון היסמין, הפטוניה והחמנית ואף בגוף האדם.
גם זו דוגמה ליחס הזהב. כיפת הסלע בירושלים | צילום: Shutterstock למעלה: בית הספר למתמטיקה בציור של רפאל | מקור: ויקיפדיה
הסתברות ובעיית מונטי הול
שליטה טובה בתורת ההסתברות יכולה לעזור בקבלת החלטות טובות יותר, שלעתים נוגדות את האינטואיציה שלנו. אחת ההמחשות היפות לזה היא בעיה שמקורה בשעשועון האמריקאי "עשינו עסק" בהנחיית מונטי הול. התוכנית נבנתה כך שלקראת סופה הוצגו בפני השחקן שלושה וילונות, שמאחורי אחד מהם נמצא פרס יקר ערך – מכונית, ומאחורי שני האחרים עזים. אם בחר בווילון הנכון הוא זכה במכונית.
אבל היה כמובן גם מלכוד. אחרי שהשחקן ניחש מאחורי איזה וילון נמצאת המכונית. מנחה השעשועון חשף את העז שמאחורי אחד הווילונות האחרים. כעת נצבה בפני המתחרה דילמה: האם ידבק בווילון שבחר בתחילה או ישנה את בחירתו ויבחר בווילון השני שנותר. מה כדאי לשחקן לעשות מבחינה הסתברותית?
לכאורה נדמה שהסיכוי התחילתי שהשחקן בחר בווילון הנכון הוא שליש, ואחרי שנפתח וילון אחד הסיכוי לכל וילון עולה לחצי. לכן לא משנה אם השחקן יישאר עם הווילון המקורי שבחר או יעדיף את השני על פניו. אבל הפתרון הסטטיסטי הנכון של הבעיה הוא שהסיכוי שלו לזכות במכונית יגדל כפליים אם השחקן ישנה את בחירתו.
מדוע זה כך? יש שתי אפשרויות: ראשית ייתכן שהשחקן בחר מראש בווילון שמאחוריו יש מכונית, והסיכוי לזה הוא שליש. במקרה הזה הוא יפסיד אם ישנה את בחירתו. הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי אחד משני הווילונות האחרים הוא שני שליש – שליש לכל וילון – אבל המנחה כבר עשה לנו טובה ופסל אחד משני הווילונות הללו. נותר לנו וילון אחד שהסיכוי שהמכונית נמצאת מאחוריו הוא שני שליש, והווילון המקורי שאנחנו כבר יודעים שיש סיכוי של שליש בלבד שהמכונית מסתתרת מאחוריו. כשמסתכלים על זה ככה, הבחירה נראית מובנת מאליה.
מתמטיקה היא שדה רחב ומרתק שאמנם מיוצג רק על ידי מספרים וסמלים, אבל הוא הרבה יותר רלוונטי מכפי שנדמה לנו כשאנו לומדים אותו מול הלוח בכיתה. כשמסתכלים היטב סביב, מוצאים אותה בתחומים רבים ומכוונים – ביצירות אמנות בפריז, בפסלים ברומא, באדריכלות של יוון הקלאסית ושל מנהטן המודרנית, בפרחים, בבעלי חיים, בהימורים ובקבלת החלטות, וכן, גם בספירת העודף במכולת.
