הנוסח המלא של השאלה: מדוע אסור לחלק מספר מסוים באפס? הרי לכאורה המשמעות של חילוק באפס היא שלא מחלקים את המספר ("מחלקים" אותו ל-0 קבוצות...) ואם כן התוצאה הייתה צריכה להיות המספר בעצמו?

שלום יוסף, לחילוק באפס אין משמעות. החלוקה של מספר ב-1 הוא לחלק את המספר לקבוצה אחת והתוצאה היא מספר האיברים בקבוצה. ברור שבחלוקה לאפס אותה לוגיקה לא עובדת שכן גם אם נניח שהמשמעות של חלוקת המספר ב-0 הוא לחלק את המספר לאפס קבוצות, אזי כמה איברים יש ב-"אפס קבוצות" האלו? ברור שלא נוכל לענות על השאלה הזאת. מה שכן אנחנו יכולים להגיד זה שכאשר מחלקים מספר במספר קטן מאוד - השואף לאפס, התוצאה שואפת לאינסוף. מכיוון שאינסוף איננו מספר (החוקים של אינסוף שונים ממספרים טבעיים "רגילים" , למשל - אינסוף ועוד אחד שווה אינסוף) יש משמעות רק לאמירה שהתוצאה שואפת לאינסוף.


סמל האינסוף

אפשר להדגים זאת באופן הבא:

2 = 1/1:2
4 = 1/1:4
100 = 1/1:100
100,000 = 1/1:100,000

מכאן ניתן לראות שככל שהמכנה קטן התוצאה דווקא גדלה (זו איננה הוכחה מתמטית - אלא הדגמה בלבד).


ד"ר יוסי אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

8 תגובות

  • משה

    אינסוף - פוטנציאל ובפועל/קונקרטי

    שלום ד"ר,
    1) רציתי לדעת האם יש הגדרה לאינסוף בפועל או רק לאינסוף פוטנצאלי.
    בשאלות הבאות אני ישאל מהצד ההיסטורי -קוסמלוגי [כי קל לדבר כלפיו על אינסוף]. 2) האם אינסוף שכזה הוא בכלל יכול להתממש במציאות שלנו? נניח שלפני אינסוף זמן העולם היה קיים ע"פ הביג קראנצ' (בהנחה שלא קיימת בעיה מצד החוק השני של התרמודנמיקה)
    3) במידה שמעולם הייקום לא התחיל (ייקום מחזורי בלי החוק השני של התרמודנמיקה) אז כיצד הגענו למחזור הנוכחי? הרי לא הייתה התחלה קודם...
    4)האם כאשר מדברים על קבוצות וגדלים באינסוף מדברים על אינסוף פוטנצאלי? או בפועל? תודה רבה מראש ! משה.
    נ.ב אני חושב שלפני כל השאלות ששואלים פה על אינסוף ראוי היה להקדים - ""בדף חדש'" מה זה אינסוף.

  • אוראל

    זה פשוט מאוד! אין דבר כזה 0! וזה טעות של מי שהמציא את הכללים

    אין הגדה ל0, כי אין דבר כזה ! זה קיים רק תאורתית, אבל אין בייקום שלנו דהר שאין לו משמעות או ביטוי,יש דברים מאוד קטנים או אפילו שלא הספקנו לחקור אותם ! יש 1 ויש 1-

  • ארן

    יש ועוד איך

    אפשר שיהיה 0/1 והמספר עצמו מייצג את הכלום. תחשוב על הכוכבים בחלל. כל כוכב הוא 1 אז נגיד במערכת עם לדוגמה 5 כוכבים יש ערך של 5. הערך של הריק הוא 0 יש לו ערך. אם נוסיף עוד כוכב הערך יהיה 1.

  • אבי

    חלוקה באפס אינה מוגדרת

    מי שהמציא את המתמטיקה ואת כל החוקים שלה, שכח לציין מה לעשות במקרה של חלוקה באפס. מדענים ניסו למצוא מספר או תשובה לחלוקה באפס - אבל לא הגיעו לכדי הסכמה בעניין זה. לכן השאירו את חלוקה באפס לא מוגדרת, ולכן אסור לחלק באפס.
    אפשר אכן להגיד שחלוקה באפס שואפת לאינסוף (או למינוס אינסוף!!!) וזו למשל אחת הסיבות שאסור לחלק באפס.

    באופן דומה, שורש של מספר שלילי גם אינו מוגדר עבור מספרים ממשיים.
    באופן דומה, אסור לעשות גם אפס בחזקת אפס.
    וגם במשוואות טריגונומטריות יש ערכים שאינם מוגדרים...
    אבל אכן, חלוקה באפס זה הכי מפורסם.

    בבואך לפתור כל תרגיל הצעד הראשון הוא לבדוק אם אכן התרגיל חוקי - כלומר עבור אילו ערכים יש למשל חלוקה באפס - ואז התרגיל אינו מוגדר.

    למשל 9 לחלק ב-X לא מוגדרת עבור X=0

  • ליאור

    תשובה

    לפי דעתי אני חושב שזה עקב הלוגיקה של התרגיל.
    לדוגמא: בודקים את התרגיל 2=8:4 בעזרת כך שעושים 2 כפול 4 וזה שווה ל-8.
    אם ניקח לדוגמא את התרגיל 0=9:0 הוא חסר משמעות שכן 0 כפול 0 לא שווה ל9...
    לכן באופן מתמטי ורציונלי התרגיל חסר משמעות

  • גדי

    מה עם אפס חלקי אפס?

    לתרגיל 0/0 יש משמעות לפי דבריך, כי 0 = 0*0

  • יוסף

    הכפלה באפס.

    בס"ד

    ראשית, תודה רבה על התשובה!!

    שנית, מדוע אם כן להכפלה באפס כן יש משמעות?

  • בני

    מי שמעליי

    גם אני תהיתי למה.
    חילוק ב0 זה כביכול לעשות פעולה שמראש לתוצאתה אין משמעות כך שאת המבצע פעולה חסרת משמעות,הכפלה ב0 תתן אפס כך שבעצם היא הופת את המספר ל0 לכן הפעולה בעלת משמעות...זה נשמע לי די הגיוני.
    זה כמו 4\0 ו0\4 כביכול התוצאה זהה? אך אין זה נכון